有势场与保守场

有势场的定义

有势场

设 $\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}$ 是定义在空间区域 $\Omega$ 上的向量场，如果存在数量函数 $u(x,y,z)$ ，使得

$\vec{F} = \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

则称 $\vec{F}$ 为有势场（或势场），函数 $u$ 称为 $\vec{F}$ 的势函数（或原函数）。

等价地， $P \, dx + Q \, dy + R \, dz = du$ 是某个函数的全微分。

势函数不是唯一的：如果 $u$ 是 $\vec{F}$ 的势函数，则 $u + C$ （ $C$ 为任意常数）也是 $\vec{F}$ 的势函数。因为 $\nabla(u+C) = \nabla u$ 。

有势场的判定

定理1

设空间区域 $\Omega$ 是一维单连通区域（即 $\Omega$ 内任一闭曲线都可以张成一片完全属于 $\Omega$ 的曲面），向量场 $\vec{F} = (P,Q,R)$ 在 $\Omega$ 内具有一阶连续偏导数，则以下命题等价：

$\vec{F}$ 是有势场（存在 $u$ 使 $\vec{F} = \nabla u$ ）
$\vec{F}$ 是无旋场（ $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$ ，即 $\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}, \, \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \, \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ ）
沿 $\Omega$ 内任意闭曲线 $L$ 的曲线积分为零： $\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$
曲线积分 $\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$ 在 $\Omega$ 内与路径无关（只依赖起点和终点）

几何解释

推论

证明

符号说明

定理要求区域 $\Omega$ 是一维单连通的。如果区域不是单连通的（如区域内有”洞”或”割缝”），即使 $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$ ，向量场也可能不是有势场（势函数可能是多值函数）。典型例子是平面上的向量场 $\vec{F} = (-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2})$ ，在除原点外的区域旋度为零，但不是有势场。

保守场

如果向量场 $\vec{F}$ 的曲线积分与路径无关，则称 $\vec{F}$ 为保守场。

在一维单连通区域内，有势场 = 无旋场 = 保守场，这三个概念是等价的。

保守场的物理意义

保守场中的力称为保守力。保守力做功只与起点和终点有关，与路径无关。沿任意闭合路径，保守力做功为零。

常见的保守力：

万有引力
静电力
弹性力（胡克定律）

非保守力（耗散力）：

摩擦力
粘滞阻力

保守场中可以定义势能：势能的负梯度等于力，即 $\vec{F} = -\nabla U$ 。保守力做功等于势能的减少： $W = U(A) - U(B)$ 。

势函数的求法

方法一：曲线积分法

由于积分与路径无关，势函数可以表示为：

$u(x,y,z) = \int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)} P \, dx + Q \, dy + R \, dz + C$

通常选择折线路径（先沿 $x$ 轴，再沿 $y$ 轴，最后沿 $z$ 轴）：

$u(x,y,z) = \int_{x_0}^x P(x, y_0, z_0) \, dx + \int_{y_0}^y Q(x, y, z_0) \, dy + \int_{z_0}^z R(x, y, z) \, dz + C$

方法二：偏积分法

由 $\frac{\partial u}{\partial x} = P$ ，对 $x$ 积分得 $u = \int P \, dx + \phi(y,z)$
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = Q$ ，确定 $\phi(y,z)$ 中关于 $y$ 的部分
由 $\frac{\partial u}{\partial z} = R$ ，确定剩余的常数项

方法三：凑微分法（观察法）

对于简单的向量场，可以直接观察出 $Pdx+Qdy+Rdz$ 是哪个函数的全微分。例如：

$x \, dx + y \, dy + z \, dz = d(\frac{x^2+y^2+z^2}{2})$
$y \, dx + x \, dy = d(xy)$
$\frac{x \, dx + y \, dy}{\sqrt{x^2+y^2}} = d(\sqrt{x^2+y^2})$

典型例题

例题1：判定有势场并求势函数

验证向量场 $\vec{F} = (yz, xz, xy)$ 是有势场，并求势函数。

参考答案(4 个标签)

有势场势函数无旋场凑微分法

解题思路：先验证旋度为零，再用凑微分法求势函数。

详细步骤：

$P = yz, \, Q = xz, \, R = xy$
旋度： $\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = x-x = 0$ $\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = y-y = 0$ $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = z-z = 0$ 旋度为零，在全空间（单连通）内是有势场。
凑微分： $yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz = d(xyz)$
势函数： $u = xyz + C$

答案：势函数为 $u = xyz + C$

例题2：偏积分法求势函数

求向量场 $\vec{F} = (2x+y+z, x+3y+2z, x+2y+3z)$ 的势函数。

参考答案(3 个标签)

有势场势函数偏积分法

解题思路：用偏积分法逐步确定势函数。

详细步骤：

验证旋度为零（略，可验证各混合偏导相等）。
由 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x+y+z$ ，对 $x$ 积分： $u = x^2 + xy + xz + \phi(y,z)$
由 $\frac{\partial u}{\partial y} = x + \phi_y = x+3y+2z$ ，得 $\phi_y = 3y+2z$ 对 $y$ 积分： $\phi = \frac{3}{2}y^2 + 2yz + \psi(z)$
由 $\frac{\partial u}{\partial z} = x + 2y + \psi' = x+2y+3z$ ，得 $\psi' = 3z$ $\psi = \frac{3}{2}z^2 + C$
势函数： $u = x^2 + xy + xz + \frac{3}{2}y^2 + 2yz + \frac{3}{2}z^2 + C$

答案： $u = x^2 + xy + xz + \frac{3}{2}y^2 + 2yz + \frac{3}{2}z^2 + C$

例题3：利用势函数计算曲线积分

计算 $\int_L (y+z) \, dx + (z+x) \, dy + (x+y) \, dz$ ，其中 $L$ 是从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(0,1,\pi)$ 的任意曲线。

参考答案(4 个标签)

有势场势函数路径无关曲线积分

解题思路：先验证是有势场，求势函数，然后用势函数的差计算积分。

详细步骤：

$P = y+z, \, Q = z+x, \, R = x+y$
旋度：各分量均为0（验证： $\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = 1-1=0$ ，等等）
凑微分： $(y+z)dx + (z+x)dy + (x+y)dz = d(xy+yz+zx)$
势函数 $u = xy+yz+zx$
积分 $= u(B) - u(A) = (0\cdot1 + 1\cdot\pi + \pi\cdot0) - (1\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot1) = \pi - 0 = \pi$

答案： $\pi$

练习题

练习1

验证向量场 $\vec{F} = (e^y, xe^y, 0)$ 是有势场，并求势函数。

参考答案(3 个标签)

有势场势函数指数函数

解题思路：验证旋度为零，凑微分。

详细步骤：

$P = e^y, \, Q = xe^y, \, R = 0$
旋度： $\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = 0-0=0$ ， $\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = 0-0=0$ ， $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = e^y-e^y=0$
凑微分： $e^y dx + xe^y dy = d(xe^y)$
势函数： $u = xe^y + C$

答案：势函数为 $u = xe^y + C$

练习2

计算 $\int_L (2xy+z^3) \, dx + (x^2) \, dy + (3xz^2) \, dz$ ，其中 $L$ 是从 $(0,0,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的任意曲线。

参考答案(4 个标签)

有势场势函数路径无关曲线积分

解题思路：验证有势场，求势函数，用势函数差计算。

详细步骤：

$P = 2xy+z^3, \, Q = x^2, \, R = 3xz^2$
旋度为零（验证： $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2x=0$ ，等等）
凑微分： $(2xy+z^3)dx + x^2 dy + 3xz^2 dz = d(x^2y + xz^3)$
势函数 $u = x^2y + xz^3$
积分 $= u(1,1,1) - u(0,0,0) = (1+1) - 0 = 2$

答案： $2$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$u(x,y,z)$	势函数	potential function	满足 $\vec{F} = \nabla u$ 的数量函数
$\nabla u$	梯度	gradient	势函数的梯度，等于向量场
$\nabla \times \vec{F}$	旋度	curl	向量场的旋度
$du$	全微分	total differential	势函数的全微分
$U$	势能	potential energy	保守力对应的势能， $\vec{F}=-\nabla U$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
有势场	potential field	/pəˈtɛnʃəl fiːld/	存在势函数的向量场
势函数	potential function	/pəˈtɛnʃəl ˈfʌŋkʃən/	梯度等于向量场的数量函数
保守场	conservative field	/kənˈsɜːrvətɪv fiːld/	曲线积分与路径无关的向量场
保守力	conservative force	/kənˈsɜːrvətɪv fɔːrs/	保守场中的力
无旋场	irrotational field	/ˌɪrəʊˈteɪʃənəl fiːld/	旋度为零的向量场
路径无关	path independent	/pæθ ˌɪndɪˈpɛndənt/	积分值只依赖端点，不依赖路径
势能	potential energy	/pəˈtɛnʃəl ˈɛnərdʒi/	保守力对应的能量
一维单连通	simply connected (1D)	/ˈsɪmpli kəˈnɛktɪd/	任一闭曲线可张成属于区域的曲面
原函数	primitive function	/ˈprɪmətɪv ˈfʌŋkʃən/	即势函数，全微分的原函数
耗散力	dissipative force	/ˈdɪsɪpeɪtɪv fɔːrs/	非保守力，如摩擦力

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