变量替换的一般公式与雅可比行列式

从一元换元到多元换元

在一元函数积分中，换元法 $\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))|\phi'(t)| dt$ 是基本技巧。多元积分的变量替换是一元换元的自然推广，但核心区别在于：多元变换中，面积/体积元素会发生”缩放”，这个缩放因子就是雅可比行列式的绝对值。

二重积分的变量替换公式

定理1

设变换 $T: \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \end{cases}$ 将 $uv$ 平面上的闭区域 $D'$ 一一对应地映射为 $xy$ 平面上的闭区域 $D$ ，且满足：

$x(u,v), y(u,v)$ 在 $D'$ 上具有一阶连续偏导数
雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0$ 在 $D'$ 上（至多在有限个点/曲线上为零）
变换 $T$ 是一一对应的（单叶）

则有变量替换公式：

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| \, du \, dv$

几何解释

推论

证明

符号说明

公式中是 $|J|$ （雅可比行列式的绝对值），不是 $J$ 本身！因为面积/体积总是正的，而雅可比行列式可能为负（负号表示方向反转）。

雅可比行列式的定义

雅可比行列式

对于变换 $x = x(u,v), \, y = y(u,v)$ ，雅可比行列式定义为：

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$

三重积分的雅可比行列式

对于变换 $x = x(u,v,w), \, y = y(u,v,w), \, z = z(u,v,w)$ ：

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}$

三重积分的变量替换公式：

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \cdot |J| \, du\,dv\,dw$

雅可比行列式的几何意义

雅可比行列式的绝对值 $|J|$ 是变换的”面积/体积缩放因子”。

在二维情况下， $uv$ 平面上的小矩形 $\Delta u \times \Delta v$ 经过变换后，在 $xy$ 平面上变为一个小平行四边形，其面积约为 $|J| \Delta u \Delta v$ 。

在三维情况下， $uvw$ 空间中的小立方体 $\Delta u \times \Delta v \times \Delta w$ 经过变换后，在 $xyz$ 空间中变为一个小平行六面体，其体积约为 $|J| \Delta u \Delta v \Delta w$ 。

逆变换的雅可比行列式

若变换 $T: (u,v) \to (x,y)$ 的雅可比为 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，则逆变换 $T^{-1}: (x,y) \to (u,v)$ 的雅可比为：

$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{1}{J} = \frac{1}{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$

这个性质在已知逆变换（如 $u = u(x,y), v = v(x,y)$ ）时非常有用，可以避免解出 $x = x(u,v), y = y(u,v)$ 。

雅可比行列式的计算技巧

直接计算：按定义求偏导数，再计算行列式
利用逆变换：若逆变换的雅可比更容易计算，则 $J = 1 / J_{\text{逆}}$
复合变换：若变换是两个变换的复合 $T = T_2 \circ T_1$ ，则 $J_T = J_{T_2} \cdot J_{T_1}$
已知变换记忆：极坐标 $J = \rho$ ，柱坐标 $J = \rho$ ，球坐标 $J = r^2\sin\phi$

典型例题

例题1：计算雅可比行列式

求变换 $x = u + v, \, y = u - v$ 的雅可比行列式。

参考答案(3 个标签)

雅可比行列式线性变换偏导数

解题思路：按定义求偏导数，计算二阶行列式。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = 1$
$\frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -1$
$J = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times (-1) - 1 \times 1 = -2$
$|J| = 2$

答案： $J = -2$ ， $|J| = 2$

（几何意义：该变换将 $uv$ 平面上的面积放大为原来的2倍，同时方向反转。）

例题2：利用逆变换求雅可比

设变换为 $u = x + y, \, v = x - y$ ，求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 。

参考答案(3 个标签)

雅可比行列式逆变换线性变换

解题思路：先求逆变换的雅可比 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ ，再取倒数。

详细步骤：

$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1$
$\frac{\partial v}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$
$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

答案： $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{1}{2}$

例题3：椭圆变换的雅可比

求椭圆变换 $x = ar\cos\theta, \, y = br\sin\theta$ 的雅可比行列式。

参考答案(3 个标签)

雅可比行列式椭圆变换广义极坐标

解题思路：这是广义极坐标变换，按定义计算。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial r} = a\cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -ar\sin\theta$
$\frac{\partial y}{\partial r} = b\sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = br\cos\theta$
$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = a\cos\theta \cdot br\cos\theta - (-ar\sin\theta) \cdot b\sin\theta = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = abr$
$|J| = abr$

答案： $J = abr$ ， $|J| = abr$

（当 $a=b=R$ 时，退化为极坐标 $J = Rr$ ，与极坐标 $J = \rho$ 一致。）

练习题

练习1

求变换 $x = u^2 - v^2, \, y = 2uv$ 的雅可比行列式。

参考答案(3 个标签)

雅可比行列式非线性变换偏导数

解题思路：按定义求偏导数，计算行列式。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = 2u, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -2v$
$\frac{\partial y}{\partial u} = 2v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 2u$
$J = \begin{vmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{vmatrix} = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2+v^2)$

答案： $J = 4(u^2+v^2)$

练习2

求变换 $x = e^u \cos v, \, y = e^u \sin v$ 的雅可比行列式。

参考答案(3 个标签)

雅可比行列式指数变换极坐标推广

解题思路：按定义计算。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u\cos v, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -e^u\sin v$
$\frac{\partial y}{\partial u} = e^u\sin v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = e^u\cos v$
$J = e^{2u}\cos^2 v + e^{2u}\sin^2 v = e^{2u}$

答案： $J = e^{2u}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$J$	雅可比行列式	Jacobian determinant	坐标变换的偏导数行列式
$\\|J\\|$	雅可比绝对值	absolute Jacobian	雅可比行列式的绝对值，面积/体积缩放因子
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$	雅可比记号	Jacobian notation	二维雅可比行列式的偏导记号
$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$	雅可比记号	Jacobian notation	三维雅可比行列式的偏导记号
$D'$	原区域	original region	变换前在新坐标系下的区域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
变量替换	change of variables	/tʃeɪndʒ əv ˈvɛriəbəlz/	积分变量的替换变换
换元法	substitution method	/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən ˈmɛθəd/	即变量替换法
雅可比行列式	Jacobian determinant	/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/	偏导数组成的行列式，度量面积/体积缩放
一一对应	one-to-one correspondence	/wʌn tuː wʌn ˌkɒrɪˈspɒndəns/	变换是单射且满射
逆变换	inverse transformation	/ˈɪnvɜːrs ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	变换的逆映射
面积缩放因子	area scaling factor	/ˈɛəriə ˈskeɪlɪŋ ˈfæktər/	变换前后面积的比值
体积缩放因子	volume scaling factor	/ˈvɒljuːm ˈskeɪlɪŋ ˈfæktər/	变换前后体积的比值

上一章节变量替换法学习多元积分的变量替换法，理解雅可比行列式的几何意义，掌握极坐标、柱坐标、球坐标及一般变换。

下一章节极坐标与柱坐标变换从变量替换的统一视角学习极坐标变换和柱坐标变换，掌握其雅可比行列式和适用场景。