Logo

极坐标下的二重积分计算

为什么需要极坐标

当积分区域是圆、扇形、环形等圆形区域，或被积函数含有 x2+y2x^2 + y^2 时，直角坐标下的积分限往往非常复杂（涉及根号），而极坐标可以极大简化计算。

极坐标变换

极坐标变换公式

直角坐标与极坐标的关系： {x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}

其中 ρ≥0\rho \geq 0 是极径（点到原点的距离），θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) 是极角（与 xx 轴正方向的夹角）。

雅可比行列式： J=∂(x,y)∂(ρ,θ)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θsin⁡θρcos⁡θ∣=ρJ = \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho

因此面积元素：dσ=dx dy=ρ dρ dθd\sigma = dx\,dy = \rho \, d\rho \, d\theta

极坐标下的二重积分公式

定理1

∬Df(x,y) dx dy=∬D′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)⋅ρ dρ dθ\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta

其中 D′D' 是区域 DD 在极坐标下的对应区域。

几何解释
推论
证明
符号说明

常见极坐标区域

1. 圆域（圆心在原点）

圆域

D:x2+y2≤R2⟺D′:0≤ρ≤R, 0≤θ≤2πD: x^2 + y^2 \leq R^2 \quad \Longleftrightarrow \quad D': 0 \leq \rho \leq R, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi

∬Df(x,y) dx dy=∫02πdθ∫0Rf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρ dρ\iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \rho \, d\rho

2. 环形区域

环形区域

D:R12≤x2+y2≤R22⟺D′:R1≤ρ≤R2, 0≤θ≤2πD: R_1^2 \leq x^2 + y^2 \leq R_2^2 \quad \Longleftrightarrow \quad D': R_1 \leq \rho \leq R_2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi

3. 扇形区域

扇形区域

D:x2+y2≤R2, α≤θ≤β⟺D′:0≤ρ≤R, α≤θ≤βD: x^2 + y^2 \leq R^2, \, \alpha \leq \theta \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad D': 0 \leq \rho \leq R, \, \alpha \leq \theta \leq \beta

4. 圆心在 (a,0)(a,0) 的圆

偏心圆

D:x2+y2≤2ax(a>0)D: x^2 + y^2 \leq 2ax \quad (a > 0)

代入极坐标：ρ2≤2aρcos⁡θ⇒ρ≤2acos⁡θ\rho^2 \leq 2a\rho\cos\theta \Rightarrow \rho \leq 2a\cos\theta

由 ρ≥0\rho \geq 0 得 cos⁡θ≥0\cos\theta \geq 0，即 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

D′:0≤ρ≤2acos⁡θ, −π2≤θ≤π2D': 0 \leq \rho \leq 2a\cos\theta, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

适用场景总结

典型例题

例题1：圆域上的积分

计算 ∬Dx2+y2 dx dy\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx\, dy，其中 D:x2+y2≤a2D: x^2 + y^2 \leq a^2。

参考答案(4 个标签)
二重积分极坐标圆域极径

解题思路： 圆域 + 被积函数含 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}，极坐标是最佳选择。

详细步骤：

  1. 极坐标变换：x=ρcos⁡θ, y=ρsin⁡θx = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta，面积元素 ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta
  2. 积分区域：0≤ρ≤a, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq a, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  3. 被积函数：x2+y2=ρ\sqrt{x^2+y^2} = \rho
  4. 计算： ∬Dx2+y2 dx dy=∫02πdθ∫0aρ⋅ρ dρ=∫02πdθ∫0aρ2 dρ\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho \cdot \rho \, d\rho = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho^2 \, d\rho
  5. =2π⋅[13ρ3]0a=2π⋅a33=23πa3= 2\pi \cdot \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_0^a = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2}{3}\pi a^3

答案：23πa3\frac{2}{3}\pi a^3

例题2：高斯积分（全平面）

计算 ∬R2e−(x2+y2) dx dy\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\, dy。

参考答案(5 个标签)
二重积分极坐标高斯积分全平面反常积分

解题思路： 全平面上的高斯积分，极坐标下可以完美分离变量。

详细步骤：

  1. 极坐标变换，全平面对应：0≤ρ<∞, 0≤θ≤2π0 \leq \rho < \infty, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. 被积函数：e−(x2+y2)=e−ρ2e^{-(x^2+y^2)} = e^{-\rho^2}
  3. 计算： ∬R2e−(x2+y2) dx dy=∫02πdθ∫0∞e−ρ2⋅ρ dρ\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty e^{-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho
  4. 令 t=ρ2t = \rho^2，则 dt=2ρ dρdt = 2\rho \, d\rho，ρ dρ=12dt\rho \, d\rho = \frac{1}{2}dt
  5. ∫0∞e−ρ2ρ dρ=12∫0∞e−tdt=12\int_0^\infty e^{-\rho^2} \rho \, d\rho = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-t} dt = \frac{1}{2}
  6. 结果：2π×12=π2\pi \times \frac{1}{2} = \pi

答案：π\pi

（由此可推出著名的泊松积分 ∫−∞∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}）

例题3：偏心圆区域

计算 ∬D(x+y) dx dy\iint_D (x + y) \, dx\, dy，其中 D:x2+y2≤2xD: x^2 + y^2 \leq 2x。

参考答案(4 个标签)
二重积分极坐标偏心圆对称性

解题思路： 圆心在 (1,0)(1,0)、半径为1的圆。利用极坐标变换，注意 ρ\rho 的上限依赖于 θ\theta。

详细步骤：

  1. 极坐标下：ρ2≤2ρcos⁡θ⇒ρ≤2cos⁡θ\rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \Rightarrow \rho \leq 2\cos\theta
  2. 由 ρ≥0\rho \geq 0 得 cos⁡θ≥0\cos\theta \geq 0，即 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
  3. 利用对称性：区域关于 xx 轴对称，被积函数中 yy 是关于 yy 的奇函数，故 ∬Dy dx dy=0\iint_D y \, dx\,dy = 0
  4. 只需计算 ∬Dx dx dy\iint_D x \, dx\,dy： ∬Dx dx dy=∫−π/2π/2dθ∫02cos⁡θρcos⁡θ⋅ρ dρ=∫−π/2π/2cos⁡θ dθ∫02cos⁡θρ2 dρ\iint_D x \, dx\,dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho\cos\theta \cdot \rho \, d\rho = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho^2 \, d\rho
  5. =∫−π/2π/2cos⁡θ⋅83cos⁡3θ dθ=83∫−π/2π/2cos⁡4θ dθ=163∫0π/2cos⁡4θ dθ= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \cdot \frac{8}{3}\cos^3\theta \, d\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{16}{3}\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta
  6. 利用华里士公式：∫0π/2cos⁡4θ dθ=34⋅12⋅π2=3π16\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}
  7. 结果：163×3π16=π\frac{16}{3} \times \frac{3\pi}{16} = \pi

答案：π\pi

练习题

练习1

计算 ∬Dex2+y2 dx dy\iint_D e^{x^2+y^2} \, dx\, dy，其中 D:x2+y2≤4D: x^2 + y^2 \leq 4。

参考答案(4 个标签)
二重积分极坐标圆域指数函数

解题思路： 圆域 + 被积函数含 x2+y2x^2+y^2，用极坐标。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬Dex2+y2dx dy=∫02πdθ∫02eρ2⋅ρ dρ\iint_D e^{x^2+y^2} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 e^{\rho^2} \cdot \rho \, d\rho
  3. 令 t=ρ2t = \rho^2，=2π⋅12∫04etdt=π(e4−1)= 2\pi \cdot \frac{1}{2}\int_0^4 e^t dt = \pi(e^4 - 1)

答案：π(e4−1)\pi(e^4 - 1)

练习2

计算 ∬Dln⁡(1+x2+y2) dx dy\iint_D \ln(1 + x^2 + y^2) \, dx\, dy，其中 D:x2+y2≤1D: x^2 + y^2 \leq 1。

参考答案(5 个标签)
二重积分极坐标圆域对数函数分部积分

解题思路： 圆域上的积分，极坐标变换后用分部积分。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬Dln⁡(1+x2+y2)dx dy=∫02πdθ∫01ln⁡(1+ρ2)⋅ρ dρ\iint_D \ln(1+x^2+y^2) dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \ln(1+\rho^2) \cdot \rho \, d\rho
  3. 令 t=1+ρ2t = 1+\rho^2，dt=2ρdρdt = 2\rho d\rho： =2π⋅12∫12ln⁡t dt=π[tln⁡t−t]12=π(2ln⁡2−2+1)=π(2ln⁡2−1)= 2\pi \cdot \frac{1}{2}\int_1^2 \ln t \, dt = \pi [t\ln t - t]_1^2 = \pi(2\ln 2 - 2 + 1) = \pi(2\ln 2 - 1)

答案：π(2ln⁡2−1)\pi(2\ln 2 - 1)

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ\rho极径rho点到原点的距离，ρ≥0\rho \geq 0
θ\theta极角theta与x轴正方向的夹角
ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta极坐标面积元素polar area element极坐标系下的面积微元

中英对照

中文术语英文术语音标说明
极坐标polar coordinates/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪts/用极径和极角表示点的坐标系
极径polar radius/ˈpoʊlər ˈreɪdiəs/点到原点的距离
极角polar angle/ˈpoʊlər ˈæŋɡəl/与x轴正方向的夹角
圆域circular domain/ˈsɜːrkjələr doʊˈmeɪn/圆形积分区域
环形区域annular region/ˈænjələr ˈriːdʒən/两个同心圆之间的区域
扇形区域sector region/ˈsɛktər ˈriːdʒən/圆心角对应的扇形区域
高斯积分Gaussian integral/ˈɡaʊsiən ˈɪntɪɡrəl/e−x2e^{-x^2} 型积分
上一章节直角坐标下的二重积分计算学习直角坐标系下二重积分的计算方法，掌握X-型区域和Y-型区域的积分限确定。
下一章节交换积分次序学习二重积分中交换积分次序的方法和技巧，掌握典型题型与易错点。
多元函数积分学