格林公式

格林公式的意义

格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的联系。它是微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）在二维的推广，将”区域内部的变化”与”边界上的累积”联系起来。

格林公式

定理1

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。

几何解释

推论

证明

符号说明

正向的规定

边界曲线的正向：当观察者沿边界曲线行走时，区域 $D$ 始终在他的左侧。

对于单连通区域（没有”洞”的区域），正向就是逆时针方向。对于复连通区域（有”洞”的区域），外边界取逆时针方向，内边界（洞的边界）取顺时针方向。

格林公式的物理意义

格林公式可以理解为：沿闭曲线的环流量 = 区域内旋度的积分。在二维情况下，向量场 $(P,Q)$ 的旋度就是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 。

格林公式的应用

应用一：计算平面图形的面积

在格林公式中取 $P = -y, \, Q = x$ ，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ ，于是：

$\oint_L x \, dy - y \, dx = 2\iint_D 1 \, dx\,dy = 2S$

因此区域 $D$ 的面积为：

$S = \frac{1}{2}\oint_L x \, dy - y \, dx$

也可以取 $P = 0, Q = x$ ，得 $S = \oint_L x \, dy$ ；或取 $P = -y, Q = 0$ ，得 $S = \oint_L -y \, dx$ 。

应用二：简化曲线积分

当直接计算曲线积分困难时，可以利用格林公式将其转化为二重积分。特别是当 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 很简单（如常数、零）时，二重积分往往更容易计算。

应用三：复连通区域

对于复连通区域 $D$ （有 $n$ 个洞），格林公式仍然成立，但边界曲线包括外边界和所有内边界，且各自取正向：

$\oint_{L_0} Pdx+Qdy + \sum_{i=1}^n \oint_{L_i} Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$

其中 $L_0$ 是外边界（逆时针）， $L_i$ 是内边界（顺时针）。

平面曲线积分与路径无关

定理2

设区域 $G$ 是单连通区域，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：

曲线积分 $\int_L P \, dx + Q \, dy$ 在 $G$ 内与路径无关（只依赖起点和终点）
沿 $G$ 内任意闭曲线 $C$ 的曲线积分为零： $\oint_C P \, dx + Q \, dy = 0$
在 $G$ 内存在函数 $u(x,y)$ ，使得 $du = P \, dx + Q \, dy$ （即 $P = \frac{\partial u}{\partial x}, \, Q = \frac{\partial u}{\partial y}$ ）
在 $G$ 内恒有 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

几何解释

推论

证明

符号说明

定理要求区域 $G$ 是单连通区域（即区域内没有”洞”），且 $P, Q$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。如果区域不是单连通的，即使 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，曲线积分也可能与路径有关。

原函数的求法

当曲线积分与路径无关时， $Pdx+Qdy$ 是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分， $u(x,y)$ 称为原函数。原函数可以通过以下公式求得：

$u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P \, dx + Q \, dy$

通常选择折线路径（先水平后竖直，或先竖直后水平）：

$u(x,y) = \int_{x_0}^x P(x, y_0) \, dx + \int_{y_0}^y Q(x, y) \, dy$

或

$u(x,y) = \int_{y_0}^y Q(x_0, y) \, dy + \int_{x_0}^x P(x, y) \, dx$

全微分方程

如果一阶微分方程 $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ 的左端是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $du = Pdx+Qdy$ ，则称该方程为全微分方程。其通解为 $u(x,y) = C$ （ $C$ 为常数）。

判断全微分方程的条件： $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ （在单连通区域内）。

典型例题

例题1：用格林公式计算面积

用格林公式求椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 的面积。

参考答案(3 个标签)

格林公式椭圆面积参数方程

解题思路：利用面积公式 $S = \frac{1}{2}\oint_L x \, dy - y \, dx$ 。

详细步骤：

椭圆参数方程： $x = a\cos t, \, y = b\sin t, \, t: 0 \to 2\pi$ （逆时针）
$dx = -a\sin t \, dt, \, dy = b\cos t \, dt$
$S = \frac{1}{2}\oint_L x \, dy - y \, dx = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} [a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t)] dt = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} ab(\cos^2 t+\sin^2 t) dt = \frac{ab}{2} \cdot 2\pi = \pi ab$

答案： $\pi ab$

例题2：用格林公式计算曲线积分

计算 $\oint_L (x^2 - 2y) \, dx + (3x + ye^y) \, dy$ ，其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=4$ 取逆时针方向。

参考答案(4 个标签)

格林公式圆周二重积分逆时针

解题思路：用格林公式转化为二重积分， $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 可能很简单。

详细步骤：

$P = x^2 - 2y, \, Q = 3x + ye^y$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2$
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - (-2) = 5$
由格林公式： $\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D 5 \, dx\,dy = 5 \times \text{圆面积} = 5 \times 4\pi = 20\pi$

答案： $20\pi$

例题3：曲线积分与路径无关

验证曲线积分 $\int_L (x+y) \, dx + (x-y) \, dy$ 与路径无关，并求原函数。

参考答案(4 个标签)

格林公式路径无关原函数全微分

解题思路：验证 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，然后用折线路径求原函数。

详细步骤：

$P = x+y, \, Q = x-y$
$\frac{\partial P}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，在全平面（单连通）成立，故积分与路径无关。
求原函数，取 $(x_0,y_0) = (0,0)$ ，折线路径： $u(x,y) = \int_0^x P(x,0) dx + \int_0^y Q(x,y) dy = \int_0^x x \, dx + \int_0^y (x-y) dy = \frac{x^2}{2} + [xy - \frac{y^2}{2}]_0^y = \frac{x^2}{2} + xy - \frac{y^2}{2}$
验证： $\frac{\partial u}{\partial x} = x+y = P, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x-y = Q$ ✓

答案：原函数为 $u(x,y) = \frac{x^2}{2} + xy - \frac{y^2}{2} + C$

练习题

练习1

用格林公式计算 $\oint_L (2xy - x^2) \, dx + (x+y^2) \, dy$ ，其中 $L$ 是由 $y=x^2$ 和 $x=y^2$ 围成的区域的正向边界。

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格林公式抛物线围成区域二重积分

解题思路：用格林公式转化为二重积分。

详细步骤：

$P = 2xy - x^2, \, Q = x + y^2$
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x$
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 2x$
区域 $D: 0 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq \sqrt{x}$
$\iint_D (1-2x) dx\,dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (1-2x) dy = \int_0^1 (1-2x)(\sqrt{x}-x^2) dx$ $= \int_0^1 (x^{1/2} - x^2 - 2x^{3/2} + 2x^3) dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} - \frac{4}{5}x^{5/2} + \frac{x^4}{2}]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{30}$

答案： $\frac{1}{30}$

练习2

验证 $\int_L (e^y + x) \, dx + (xe^y - 2y) \, dy$ 与路径无关，并计算从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的积分值。

参考答案(4 个标签)

路径无关原函数全微分指数函数

解题思路：验证 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ ，求原函数后代入端点。

详细步骤：

$P = e^y + x, \, Q = xe^y - 2y$
$\frac{\partial P}{\partial y} = e^y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y$ ，相等，故与路径无关。
原函数： $u(x,y) = \int_0^x (1+x)dx + \int_0^y (xe^y-2y)dy = x + \frac{x^2}{2} + [xe^y - y^2]_0^y = x + \frac{x^2}{2} + xe^y - y^2 - x = \frac{x^2}{2} + xe^y - y^2$
从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ： $u(1,2) - u(0,0) = (\frac{1}{2} + e^2 - 4) - 0 = e^2 - \frac{7}{2}$

答案： $e^2 - \frac{7}{2}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\oint_L$	闭曲线积分	closed line integral	沿闭曲线的积分
$D$	平面区域	planar region	闭曲线围成的平面区域
$L$	边界曲线	boundary curve	区域 D 的边界曲线
$u(x,y)$	原函数	potential function	满足 $du = Pdx+Qdy$ 的函数
$G$	单连通区域	simply connected domain	没有”洞”的区域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
格林公式	Green’s theorem	/ɡriːnz ˈθɪərəm/	平面二重积分与边界曲线积分的关系
单连通区域	simply connected domain	/ˈsɪmpli kəˈnɛktɪd doʊˈmeɪn/	区域内任意闭曲线可连续收缩为一点
复连通区域	multiply connected domain	/ˈmʌltɪplaɪ kəˈnɛktɪd doʊˈmeɪn/	有”洞”的区域
正向	positive orientation	/ˈpɒzətɪv ˌɔːriɛnˈteɪʃən/	区域在左侧的边界方向
与路径无关	path independent	/pæθ ˌɪndɪˈpɛndənt/	积分值只依赖端点
原函数	potential function	/pəˈtɛnʃəl ˈfʌŋkʃən/	全微分的原函数
全微分方程	exact differential equation	/ɪɡˈzækt ˌdɪfəˈrɛnʃəl ɪˈkweɪʒən/	左端为全微分的微分方程
环流量	circulation	/ˌsɜːrkjəˈleɪʃən/	沿闭曲线的第二类曲线积分
旋度	curl	/kɜːrl/	向量场的旋转强度，二维为 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$

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