多元积分的几何应用

解题思路： 两曲面的交线在 $x^2+y^2=1$ 处。上曲面 $z=2-x^2-y^2$，下曲面 $z=x^2+y^2$。

详细步骤：

1. 交线：$x^2+y^2 = 2-x^2-y^2 \Rightarrow x^2+y^2 = 1$，投影区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$
2. $V = \iint_D [(2-x^2-y^2) - (x^2+y^2)] dx\,dy = \iint_D (2-2x^2-2y^2) dx\,dy$
3. 极坐标：$= 2\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1-\rho^2)\rho \, d\rho = 4\pi \int_0^1 (\rho-\rho^3) d\rho = 4\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}) = \pi$

答案：$\pi$

解题思路： 上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$，投影区域为圆 $x^2+y^2 \leq ax$。

详细步骤：

1. 上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$
2. $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, \, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$
3. $dS = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} \, dx\,dy = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \, dx\,dy$
4. 投影区域 $D: x^2+y^2 \leq ax$，极坐标下 $0 \leq \rho \leq a\cos\theta, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
5. 上半部分面积： $A_1 = \iint_D \frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}} \cdot \rho \, d\rho \, d\theta = a\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{a\cos\theta} \frac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}} d\rho$ $= a\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [-\sqrt{a^2-\rho^2}]_0^{a\cos\theta} d\theta = a\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (a - a|\sin\theta|) d\theta$ $= a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-|\sin\theta|) d\theta = 2a^2\int_0^{\pi/2} (1-\sin\theta) d\theta = 2a^2[\theta + \cos\theta]_0^{\pi/2} = 2a^2(\frac{\pi}{2} - 1) = a^2(\pi - 2)$
6. 上下两部分总面积：$A = 2A_1 = 2a^2(\pi - 2)$

答案：$2a^2(\pi - 2)$

解题思路： 用垂直于 $z$ 轴的平面截椭球，截面为椭圆，面积易求。

详细步骤：

1. 当 $-c \leq z \leq c$ 时，截面为椭圆 $\frac{x^2}{a^2(1-z^2/c^2)} + \frac{y^2}{b^2(1-z^2/c^2)} \leq 1$
2. 截面椭圆的半轴：$a\sqrt{1-z^2/c^2}$ 和 $b\sqrt{1-z^2/c^2}$
3. 截面面积：$S(z) = \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2})$
4. $V = \int_{-c}^c S(z) dz = \int_{-c}^c \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2}) dz = 2\pi ab \int_0^c (1 - \frac{z^2}{c^2}) dz = 2\pi ab[z - \frac{z^3}{3c^2}]_0^c = 2\pi ab(c - \frac{c}{3}) = 2\pi ab \cdot \frac{2c}{3} = \frac{4}{3}\pi abc$

答案：$\frac{4}{3}\pi abc$

（当 $a=b=c=R$ 时，退化为球体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$。）

解题思路： 用二重积分或定积分计算。

详细步骤：

1. 交点：$x^2 = x \Rightarrow x=0$ 或 $x=1$
2. 区域 $D: 0 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq x$
3. $S = \iint_D dx\,dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy = \int_0^1 (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

答案：$\frac{1}{6}$

解题思路： 锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$，投影区域为圆 $x^2+y^2 \leq 1$。

详细步骤：

1. $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$
2. $dS = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}} \, dx\,dy = \sqrt{2} \, dx\,dy$
3. 投影区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$，面积 $\pi$
4. $A = \iint_D \sqrt{2} \, dx\,dy = \sqrt{2} \pi$

答案：$\sqrt{2}\pi$