直角坐标下的二重积分计算

基本思想

二重积分的计算核心是将其转化为两次定积分（累次积分）。在直角坐标系下，面积元素 $d\sigma = dx\,dy$ ，我们需要根据积分区域的形状选择合适的积分次序。

X-型区域

如果积分区域 $D$ 可以表示为：

$D: \quad a \leq x \leq b, \quad y_1(x) \leq y \leq y_2(x)$

其中 $y_1(x), y_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则称 $D$ 为 X-型区域。其特点是：穿过区域内部且平行于 $y$ 轴的直线与区域边界的交点不超过两个。

X-型区域的二重积分

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy$

计算顺序：先对 $y$ 积分（将 $x$ 视为常数），再对 $x$ 积分。

确定X-型积分限的步骤

将区域 $D$ 投影到 $x$ 轴上，得到区间 $[a, b]$
在 $[a, b]$ 上任取一点 $x$ ，作平行于 $y$ 轴的直线
直线从下方边界 $y = y_1(x)$ 进入区域，从上方边界 $y = y_2(x)$ 穿出区域
积分限即为： $x \in [a,b]$ ， $y \in [y_1(x), y_2(x)]$

Y-型区域

如果积分区域 $D$ 可以表示为：

$D: \quad c \leq y \leq d, \quad x_1(y) \leq x \leq x_2(y)$

其中 $x_1(y), x_2(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续，则称 $D$ 为 Y-型区域。其特点是：穿过区域内部且平行于 $x$ 轴的直线与区域边界的交点不超过两个。

Y-型区域的二重积分

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \, dx$

计算顺序：先对 $x$ 积分（将 $y$ 视为常数），再对 $y$ 积分。

矩形区域

矩形区域是最简单的情况，既是X-型也是Y-型：

矩形区域积分

$D: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d$

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy$

特别地，若 $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$ ，则 $\iint_D g(x)h(y) \, dx\, dy = \left(\int_a^b g(x) \, dx\right) \left(\int_c^d h(y) \, dy\right)$

当被积函数可以分离变量（ $f(x,y)=g(x)h(y)$ ）且积分区域为矩形时，二重积分可以拆成两个定积分的乘积，大大简化计算。

积分次序的选择

同一个区域往往既可以表示为X-型也可以表示为Y-型，选择哪种次序取决于：

被积函数的形式：哪种次序更容易求出原函数
积分区域的形状：哪种次序不需要拆分区域
计算复杂度：哪种次序的积分限更简单

有些被积函数（如 $e^{-x^2}$ 、 $\frac{\sin x}{x}$ 、 $\sin x^2$ 等）的原函数不是初等函数，必须选择合适的积分次序才能计算。

典型例题

例题1：X-型区域计算

计算 $\iint_D (x + y) \, dx\, dy$ ，其中 $D$ 由 $y = x^2$ 和 $y = x$ 围成。

参考答案(4 个标签)

二重积分直角坐标X型区域抛物线

解题思路：先确定积分区域，选择X-型区域，先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分。

详细步骤：

求交点： $x^2 = x \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 1$ ，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$
在 $[0,1]$ 上， $x^2 \leq x$ （抛物线在直线下方）
X-型表示： $D: 0 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq x$
计算： $\iint_D (x+y) \, dx\, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^x (x+y) \, dy$
先对 $y$ 积分： $\int_{x^2}^x (x+y) \, dy = \left[xy + \frac{1}{2}y^2\right]_{x^2}^x = \left(x^2 + \frac{1}{2}x^2\right) - \left(x^3 + \frac{1}{2}x^4\right) = \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4$
再对 $x$ 积分： $\int_0^1 \left(\frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4\right) dx = \left[\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{10}x^5\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$

答案： $\frac{3}{20}$

例题2：矩形区域与分离变量

计算 $\iint_D x^2 y \, dx\, dy$ ，其中 $D: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 2$ 。

参考答案(4 个标签)

二重积分直角坐标矩形区域分离变量

解题思路：被积函数可分离变量，区域为矩形，直接拆成两个定积分的乘积。

详细步骤：

$f(x,y) = x^2 \cdot y$ ，可分离变量
$\iint_D x^2 y \, dx\, dy = \left(\int_0^1 x^2 \, dx\right) \left(\int_0^2 y \, dy\right)$
$\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{1}{3}$
$\int_0^2 y \, dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 2$
乘积： $\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$

答案： $\frac{2}{3}$

例题3：需要选择积分次序

计算 $\iint_D \frac{\sin x}{x} \, dx\, dy$ ，其中 $D$ 由 $y = x$ ， $y = 0$ ， $x = \pi$ 围成。

参考答案(4 个标签)

二重积分积分次序不可积函数三角形区域

解题思路： $\frac{\sin x}{x}$ 的原函数不是初等函数，不能先对 $x$ 积分，必须选择先对 $y$ 积分。

详细步骤：

积分区域： $0 \leq x \leq \pi, \, 0 \leq y \leq x$ （X-型）
选择先对 $y$ 积分： $\iint_D \frac{\sin x}{x} \, dx\, dy = \int_0^\pi dx \int_0^x \frac{\sin x}{x} \, dy$
先对 $y$ 积分（ $\frac{\sin x}{x}$ 与 $y$ 无关）： $\int_0^x \frac{\sin x}{x} \, dy = \frac{\sin x}{x} \cdot [y]_0^x = \frac{\sin x}{x} \cdot x = \sin x$
再对 $x$ 积分： $\int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

答案： $2$

练习题

练习1

计算 $\iint_D xy \, dx\, dy$ ，其中 $D$ 由 $y = 1$ ， $x = 2$ ， $y = x$ 围成。

参考答案(3 个标签)

二重积分直角坐标三角形区域

解题思路：确定区域范围，选择X-型或Y-型计算。

详细步骤：

交点： $(1,1)$ ， $(2,1)$ ， $(2,2)$
X-型： $1 \leq x \leq 2, \, 1 \leq y \leq x$
$\iint_D xy \, dx\, dy = \int_1^2 dx \int_1^x xy \, dy = \int_1^2 x \cdot \left[\frac{1}{2}y^2\right]_1^x dx = \int_1^2 x\left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\right) dx$
$= \frac{1}{2}\int_1^2 (x^3 - x) dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left[(4-2) - \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8}$

答案： $\frac{9}{8}$

练习2

计算 $\iint_D e^{x+y} \, dx\, dy$ ，其中 $D: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1$ 。

参考答案(4 个标签)

二重积分矩形区域分离变量指数函数

解题思路：矩形区域 + 可分离变量，直接拆分。

详细步骤：

$e^{x+y} = e^x \cdot e^y$
$\iint_D e^{x+y} \, dx\, dy = \left(\int_0^1 e^x dx\right)\left(\int_0^1 e^y dy\right) = (e-1)^2$

答案： $(e-1)^2$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$dx\,dy$	面积元素	Cartesian area element	直角坐标系下的面积元素
$y_1(x), y_2(x)$	边界函数	boundary functions	X-型区域的下、上边界
$x_1(y), x_2(y)$	边界函数	boundary functions	Y-型区域的左、右边界

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
累次积分	iterated integral	/ˈɪtəreɪtɪd ˈɪntɪɡrəl/	依次进行的多次定积分
X-型区域	type I region	/taɪp wʌn ˈriːdʒən/	先对 y 后对 x 积分的区域
Y-型区域	type II region	/taɪp tuː ˈriːdʒən/	先对 x 后对 y 积分的区域
积分限	limits of integration	/ˈlɪmɪts əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/	积分的上下界
分离变量	separation of variables	/ˌsɛpəˈreɪʃən əv ˈvɛriəbəlz/	被积函数可写成 g(x)h(y) 的形式

上一章节二重积分的概念与性质学习二重积分的定义、几何意义和基本性质，建立对二重积分的直观理解。

下一章节极坐标下的二重积分计算学习极坐标系下二重积分的计算方法，掌握极坐标变换的适用场景和典型区域。