三重积分的对称性与应用

对称性在三重积分中的应用

关于坐标面的对称性

定理1

设积分区域 $\Omega$ 关于 $xOy$ 坐标面对称（即若 $(x,y,z) \in \Omega$ ，则 $(x,y,-z) \in \Omega$ ）， $\Omega_1$ 是 $\Omega$ 在 $xOy$ 面上方的部分（ $z \geq 0$ ）。

若 $f(x, y, -z) = -f(x, y, z)$ （即 $f$ 关于 $z$ 是奇函数），则 $\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = 0$
若 $f(x, y, -z) = f(x, y, z)$ （即 $f$ 关于 $z$ 是偶函数），则 $\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \, dv$

几何解释

推论

证明

符号说明

类似地，有关于 $yOz$ 面（对应 $x$ 的奇偶性）和 $xOz$ 面（对应 $y$ 的奇偶性）的对称性结论。

关于原点的对称性

若 $\Omega$ 关于原点对称（即若 $(x,y,z) \in \Omega$ ，则 $(-x,-y,-z) \in \Omega$ ）：

若 $f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z)$ ，则 $\iiint_\Omega f \, dv = 0$
若 $f(-x,-y,-z) = f(x,y,z)$ ，则 $\iiint_\Omega f \, dv = 2\iiint_{\Omega_1} f \, dv$

轮换对称性

若积分区域 $\Omega$ 关于 $x, y, z$ 具有轮换对称性（即交换任意两个变量后区域不变，如球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ ），则：

$\iiint_\Omega f(x) \, dv = \iiint_\Omega f(y) \, dv = \iiint_\Omega f(z) \, dv$

因此： $\iiint_\Omega [f(x) + f(y) + f(z)] \, dv = 3\iiint_\Omega f(x) \, dv$

轮换对称性在处理含 $x^2+y^2+z^2$ 或 $f(x)+f(y)+f(z)$ 型被积函数时特别有用，尤其是在球体区域上。

物理应用

1. 空间物体的质量

质量

设空间物体占有区域 $\Omega$ ，体密度为 $\rho(x,y,z)$ ，则物体的质量为： $M = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv$

2. 质心

定理2

空间物体的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ ：

$\bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega x\rho(x,y,z) \, dv, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega y\rho(x,y,z) \, dv, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega z\rho(x,y,z) \, dv$

其中 $M = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv$ 是总质量。

若物体均匀（ $\rho$ 为常数），则质心称为形心： $\bar{x} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega x \, dv, \quad \bar{y} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega y \, dv, \quad \bar{z} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega z \, dv$ 其中 $V$ 是区域 $\Omega$ 的体积。

几何解释

推论

证明

符号说明

3. 转动惯量

定理3

空间物体关于各坐标轴的转动惯量：

关于 $x$ 轴： $I_x = \iiint_\Omega (y^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv$
关于 $y$ 轴： $I_y = \iiint_\Omega (x^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv$
关于 $z$ 轴： $I_z = \iiint_\Omega (x^2 + y^2)\rho(x,y,z) \, dv$
关于原点： $I_O = \iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv = \frac{1}{2}(I_x + I_y + I_z)$

几何解释

推论

证明

符号说明

4. 引力

空间物体对位于点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处质量为 $m$ 的质点的引力 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ ：

$F_x = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv$ $F_y = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv$ $F_z = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv$

其中 $G$ 为引力常数。

典型例题

例题1：利用对称性

计算 $\iiint_\Omega (x + y + z)^2 \, dv$ ，其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 。

参考答案(4 个标签)

三重积分对称性轮换对称性球体

解题思路：展开后利用对称性和轮换对称性简化。

详细步骤：

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy + 2yz + 2xz$
$xy$ 关于 $x$ 是奇函数，区域关于 $yOz$ 面对称 $\Rightarrow \iiint xy \, dv = 0$
同理 $\iiint yz \, dv = 0$ ， $\iiint xz \, dv = 0$
由轮换对称性： $\iiint x^2 dv = \iiint y^2 dv = \iiint z^2 dv$
$\iiint (x^2+y^2+z^2) dv = 3\iiint x^2 dv$ ，而由球坐标知 $\iiint (x^2+y^2+z^2) dv = \frac{4\pi R^5}{5}$
因此 $\iiint (x+y+z)^2 dv = \frac{4\pi R^5}{5}$

答案： $\frac{4\pi R^5}{5}$

例题2：求均匀球体的转动惯量

求半径为 $R$ 、密度为常数 $\rho$ 的均匀球体关于其直径的转动惯量。

参考答案(4 个标签)

三重积分转动惯量球体球坐标

解题思路：取直径为 $z$ 轴，计算 $I_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho \, dv$ 。

详细步骤：

球坐标下： $x^2+y^2 = r^2\sin^2\phi$ ，体积元素 $r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$
$I_z = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\phi \int_0^R r^2\sin^2\phi \cdot r^2\sin\phi \, dr$ $= \rho \cdot 2\pi \int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi \int_0^R r^4 dr$
$\int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi = 2\int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$\int_0^R r^4 dr = \frac{R^5}{5}$
$I_z = \rho \cdot 2\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{8\pi\rho R^5}{15}$
总质量 $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ ，故 $I_z = \frac{2}{5}MR^2$

答案： $I_z = \frac{2}{5}MR^2$ （其中 $M$ 为球体总质量）

例题3：求圆锥体的形心

求高为 $h$ 、底面半径为 $R$ 的均匀正圆锥体的形心。

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三重积分形心圆锥体柱坐标对称性

解题思路：圆锥体关于 $z$ 轴对称，形心在 $z$ 轴上，只需计算 $\bar{z}$ 。

详细步骤：

设圆锥顶点在原点，轴为 $z$ 轴，底面在 $z=h$ 处。圆锥面方程： $z = \frac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}$
体积 $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$
柱坐标下： $0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq R, \, \frac{h}{R}\rho \leq z \leq h$
$\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R \rho \, d\rho \int_{h\rho/R}^h z \, dz = 2\pi \int_0^R \rho \cdot \frac{1}{2}\left[h^2 - \frac{h^2\rho^2}{R^2}\right] d\rho = \pi h^2 \int_0^R \left(\rho - \frac{\rho^3}{R^2}\right) d\rho = \pi h^2\left(\frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{4}\right) = \frac{\pi h^2 R^2}{4}$
$\bar{z} = \frac{\pi h^2 R^2 / 4}{\pi R^2 h / 3} = \frac{3h}{4}$

答案：形心在对称轴上，距顶点 $\frac{3h}{4}$ 处（即距底面 $\frac{h}{4}$ 处）。

练习题

练习1

计算 $\iiint_\Omega xyz \, dv$ ，其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1, \, x \geq 0, \, y \geq 0, \, z \geq 0$ （第一卦限的单位球）。

参考答案(4 个标签)

三重积分球坐标第一卦限乘积函数

解题思路：第一卦限的单位球，球坐标下 $\phi$ 和 $\theta$ 范围都是 $[0, \pi/2]$ 。

详细步骤：

球坐标： $0 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \phi \leq \pi/2, \, 0 \leq \theta \leq \pi/2$
$xyz = r^3\sin^2\phi\cos\phi\sin\theta\cos\theta$
$\iiint_\Omega xyz \, dv = \int_0^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta \, d\theta \int_0^{\pi/2} \sin^3\phi\cos\phi \, d\phi \int_0^1 r^5 dr$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{48}$

答案： $\frac{1}{48}$

练习2

求均匀球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 关于原点的转动惯量。

参考答案(4 个标签)

三重积分转动惯量球体球坐标

解题思路：关于原点的转动惯量 $I_O = \iiint (x^2+y^2+z^2)\rho \, dv$ 。

详细步骤：

球坐标下 $x^2+y^2+z^2 = r^2$
$I_O = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2 dr = \rho \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi\rho R^5}{5}$
总质量 $M = \frac{4}{3}\pi\rho R^3$ ，故 $I_O = \frac{3}{5}MR^2$

答案： $I_O = \frac{3}{5}MR^2$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\rho(x,y,z)$	体密度	volume density	空间物体在点(x,y,z)处的体密度
$M$	质量	mass	空间物体的总质量
$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$	质心坐标	centroid coordinates	质心的坐标
$I_x, I_y, I_z$	转动惯量	moment of inertia	关于各坐标轴的转动惯量
$V$	体积	volume	空间区域的体积
$G$	引力常数	gravitational constant	万有引力常数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
对称性	symmetry	/ˈsɪmətri/	区域关于坐标面或原点的对称性质
轮换对称性	cyclic symmetry	/ˈsaɪklɪk ˈsɪmətri/	交换变量后区域不变的性质
质心	center of mass	/ˈsɛntər əv mæs/	质量中心
形心	centroid	/ˈsɛntrɔɪd/	均匀物体的质心，即几何中心
转动惯量	moment of inertia	/ˈmoʊmənt əv ɪˈnɜːrʃə/	物体转动惯性的量度
引力	gravitational force	/ˌɡrævɪˈteɪʃənəl fɔːrs/	物体间的万有引力
体密度	volume density	/ˈvɒljuːm ˈdɛnsəti/	单位体积的质量

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