直角坐标下的三重积分计算

基本思想

三重积分的计算核心是将其转化为三次定积分（累次积分）。在直角坐标系下，体积元素 $dv = dx\,dy\,dz$ 。根据积分限确定方式的不同，有两种基本方法：先一后二法（投影法）和先二后一法（截面法）。

先一后二法（投影法）

先一后二法

先一后二法，又称投影法，是将空间区域 $\Omega$ 投影到某个坐标平面（如 $xOy$ 平面），先对第三个变量（如 $z$ ）作定积分，再在投影区域上作二重积分。

设 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为 $D_{xy}$ ，且 $\Omega$ 可表示为：

$\Omega: \quad (x,y) \in D_{xy}, \quad z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)$

则 $\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] dx\,dy$

如果投影区域 $D_{xy}$ 是X-型区域： $a \leq x \leq b, \, y_1(x) \leq y \leq y_2(x)$ ，则三重积分可化为三次定积分：

$\iiint_\Omega f \, dv = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz$

“先一后二”的含义：先对一个变量（如 $z$ ）积分（“一”次定积分），再对另外两个变量（如 $x,y$ ）积分（“二”重积分）。投影到哪个坐标面，就先对第三个变量积分。

确定先一后二积分限的步骤

将区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$
在 $D_{xy}$ 内任取一点 $(x,y)$ ，作平行于 $z$ 轴的直线
直线从下曲面 $z = z_1(x,y)$ 进入区域，从上曲面 $z = z_2(x,y)$ 穿出区域
积分限： $(x,y) \in D_{xy}$ ， $z \in [z_1(x,y), z_2(x,y)]$

先二后一法（截面法）

先二后一法

先二后一法，又称截面法，是先用垂直于某个坐标轴的平面截区域 $\Omega$ ，得到截面区域，先在截面上作二重积分，再对第三个变量作定积分。

设 $\Omega$ 介于平面 $z = c$ 和 $z = d$ 之间，用垂直于 $z$ 轴的平面 $z = z_0$ 截 $\Omega$ ，得到截面区域 $D_z$ 。则

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \int_c^d \left[ \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dx\,dy \right] dz$

何时优先使用先二后一法？ 当被积函数仅依赖于一个变量（如仅含 $z$ ），且截面面积容易计算时，先二后一法可以极大简化计算。因为此时内层二重积分可能就是截面面积乘以一个常数。

先二后一法的适用场景

被积函数 $f(x,y,z)$ 仅含一个变量（如 $f(z)$ ）
截面区域 $D_z$ 的面积容易求出（如椭圆、圆、三角形等）
旋转体区域

长方体区域

长方体是最简单的情况：

长方体积分

$\Omega: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d, \quad e \leq z \leq f$

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx$

若 $f(x,y,z) = g(x)h(y)k(z)$ ，则 $\iiint_\Omega f \, dv = \left(\int_a^b g(x)dx\right)\left(\int_c^d h(y)dy\right)\left(\int_e^f k(z)dz\right)$

典型例题

例题1：先一后二法

计算 $\iiint_\Omega x \, dv$ ，其中 $\Omega$ 由三个坐标面及平面 $x + 2y + z = 1$ 围成。

参考答案(4 个标签)

三重积分先一后二直角坐标四面体

解题思路：将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，先对 $z$ 积分，再对 $x,y$ 积分。

详细步骤：

区域 $\Omega$ ： $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x+2y+z \leq 1$
投影到 $xOy$ 平面： $D_{xy}: x \geq 0, y \geq 0, x+2y \leq 1$
对固定的 $(x,y) \in D_{xy}$ ， $z$ 从 $0$ 到 $1-x-2y$
$\iiint_\Omega x \, dv = \iint_{D_{xy}} dx\,dy \int_0^{1-x-2y} x \, dz = \iint_{D_{xy}} x(1-x-2y) dx\,dy$
$D_{xy}$ 用X-型： $0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq \frac{1-x}{2}$
$= \int_0^1 dx \int_0^{(1-x)/2} x(1-x-2y) dy = \int_0^1 x\left[(1-x)y - y^2\right]_0^{(1-x)/2} dx$ $= \int_0^1 x\left(\frac{(1-x)^2}{2} - \frac{(1-x)^2}{4}\right) dx = \int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{4} dx$ $= \frac{1}{4}\int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) dx = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{48}$

答案： $\frac{1}{48}$

例题2：先二后一法

计算 $\iiint_\Omega z^2 \, dv$ ，其中 $\Omega: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1$ （椭球体）。

参考答案(4 个标签)

三重积分先二后一截面法椭球体

解题思路：被积函数仅含 $z$ ，适合用先二后一法。截面是椭圆，面积易求。

详细步骤：

$\Omega$ 介于 $z = -c$ 和 $z = c$ 之间
用平面 $z = z_0$ 截椭球，截面为椭圆： $\frac{x^2}{a^2(1-z_0^2/c^2)} + \frac{y^2}{b^2(1-z_0^2/c^2)} \leq 1$
截面椭圆的半轴： $a\sqrt{1-z^2/c^2}$ 和 $b\sqrt{1-z^2/c^2}$
截面面积： $S(z) = \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2})$
$\iiint_\Omega z^2 \, dv = \int_{-c}^c z^2 \cdot S(z) \, dz = \int_{-c}^c z^2 \cdot \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2}) dz$ $= 2\pi ab \int_0^c (z^2 - \frac{z^4}{c^2}) dz = 2\pi ab\left[\frac{z^3}{3} - \frac{z^5}{5c^2}\right]_0^c = 2\pi ab\left(\frac{c^3}{3} - \frac{c^3}{5}\right) = 2\pi ab \cdot \frac{2c^3}{15} = \frac{4\pi abc^3}{15}$

答案： $\frac{4\pi abc^3}{15}$

例题3：交换积分次序

将三次积分 $\int_0^1 dx \int_0^x dy \int_0^y f(x,y,z) dz$ 交换为按 $z, y, x$ 的其他次序。

参考答案(3 个标签)

三重积分交换积分次序四面体

解题思路：先确定积分区域，再重新确定积分限。

详细步骤：

原积分限： $0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x, \, 0 \leq z \leq y$
区域由 $z=y, y=x, x=1, z=0$ 等围成，是一个四面体
交换为先对 $x$ 积分： $z \leq y \leq x \leq 1$ ，即 $0 \leq z \leq 1, \, z \leq y \leq 1, \, y \leq x \leq 1$
新积分： $\int_0^1 dz \int_z^1 dy \int_y^1 f(x,y,z) dx$

答案： $\int_0^1 dz \int_z^1 dy \int_y^1 f(x,y,z) dx$

练习题

练习1

计算 $\iiint_\Omega xy \, dv$ ，其中 $\Omega: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$ 。

参考答案(3 个标签)

三重积分长方体分离变量

解题思路：长方体区域 + 可分离变量，直接拆分。

详细步骤：

$\iiint_\Omega xy \, dv = \left(\int_0^1 x dx\right)\left(\int_0^1 y dy\right)\left(\int_0^1 dz\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

答案： $\frac{1}{4}$

练习2

用先二后一法计算 $\iiint_\Omega z \, dv$ ，其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, \, z \geq 0$ （上半球体）。

参考答案(4 个标签)

三重积分先二后一截面法上半球

解题思路：被积函数仅含 $z$ ，截面是圆，面积易求。

详细步骤：

$\Omega$ 介于 $z=0$ 和 $z=R$ 之间
截面 $D_z: x^2+y^2 \leq R^2-z^2$ ，面积 $S(z) = \pi(R^2-z^2)$
$\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^R z \cdot \pi(R^2-z^2) dz = \pi\int_0^R (R^2 z - z^3) dz = \pi\left[\frac{R^2 z^2}{2} - \frac{z^4}{4}\right]_0^R = \pi\left(\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right) = \frac{\pi R^4}{4}$

答案： $\frac{\pi R^4}{4}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$D_{xy}$	投影区域	projection region	空间区域在 xOy 平面上的投影
$D_z$	截面区域	cross-section region	垂直于 z 轴的平面截区域所得截面
$z_1(x,y), z_2(x,y)$	边界曲面	boundary surfaces	区域的下、上边界曲面
$S(z)$	截面面积	cross-section area	截面区域 $D_z$ 的面积

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
先一后二法	projection method	/prəˈdʒɛkʃən ˈmɛθəd/	先对一个变量积分，再对两个变量作二重积分
先二后一法	cross-section method	/krɔːs ˈsɛkʃən ˈmɛθəd/	先在截面上作二重积分，再对一个变量积分
投影法	projection method	/prəˈdʒɛkʃən ˈmɛθəd/	即先一后二法
截面法	slicing method	/ˈslaɪsɪŋ ˈmɛθəd/	即先二后一法
投影区域	projection region	/prəˈdʒɛkʃən ˈriːdʒən/	空间区域在坐标平面上的投影
截面	cross-section	/krɔːs ˈsɛkʃən/	垂直于坐标轴的平面与区域的交集
累次积分	iterated integral	/ˈɪtəreɪtɪd ˈɪntɪɡrəl/	依次进行的多次定积分

上一章节三重积分的概念与性质学习三重积分的定义、物理意义和基本性质，建立对三重积分的直观理解。

下一章节柱坐标下的三重积分计算学习柱坐标系下三重积分的计算方法，掌握柱坐标变换的适用场景和典型区域。