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柱坐标下的三重积分计算

为什么需要柱坐标

当积分区域是旋转体（如圆柱、圆锥、旋转抛物面等），或被积函数含有 x2+y2x^2 + y^2 时，柱坐标可以极大简化积分限的确定和积分计算。柱坐标本质上是”极坐标 + 直角坐标 zz“的混合坐标系。

柱坐标变换

柱坐标变换公式

直角坐标与柱坐标的关系： {x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

其中 ρ≥0\rho \geq 0 是点到 zz 轴的距离（极径），θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) 是极角，z∈Rz \in \mathbb{R} 是竖坐标。

雅可比行列式： J=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,z)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θ0sin⁡θρcos⁡θ0001∣=ρJ = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

因此体积元素：dv=dx dy dz=ρ dρ dθ dzdv = dx\,dy\,dz = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

柱坐标下的三重积分公式

∭Ωf(x,y,z) dv=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)⋅ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

常见柱坐标区域

1. 圆柱体

圆柱体

Ω:x2+y2≤R2,a≤z≤b\Omega: x^2 + y^2 \leq R^2, \quad a \leq z \leq b

柱坐标下： Ω′:0≤ρ≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b\Omega': 0 \leq \rho \leq R, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad a \leq z \leq b

∭Ωf dv=∫abdz∫02πdθ∫0Rf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ\iiint_\Omega f \, dv = \int_a^b dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho

2. 圆锥体

圆锥体

顶点在原点、开口向上的圆锥 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 与平面 z=hz = h 围成的区域：

柱坐标下：zz 从 ρ\rho 到 hh，或 ρ\rho 从 00 到 zz

方法一（先对 zz 积分）： 0≤ρ≤h,0≤θ≤2π,ρ≤z≤h0 \leq \rho \leq h, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad \rho \leq z \leq h

方法二（先对 ρ\rho 积分，先二后一）： 0≤z≤h,0≤θ≤2π,0≤ρ≤z0 \leq z \leq h, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq \rho \leq z

3. 旋转抛物面

旋转抛物面

由 z=x2+y2z = x^2 + y^2 和 z=hz = h 围成的区域：

柱坐标下：z=ρ2z = \rho^2 0≤ρ≤h,0≤θ≤2π,ρ2≤z≤h0 \leq \rho \leq \sqrt{h}, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad \rho^2 \leq z \leq h

适用场景总结

典型例题

例题1：圆柱区域

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2 + y^2) \, dv，其中 Ω:x2+y2≤4, 0≤z≤3\Omega: x^2 + y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 3。

参考答案(4 个标签)
三重积分柱坐标圆柱体旋转体

解题思路： 圆柱体 + 被积函数含 x2+y2x^2+y^2，柱坐标是最佳选择。

详细步骤：

  1. 柱坐标变换：x=ρcos⁡θ, y=ρsin⁡θ, z=zx = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta, \, z = z，体积元素 ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz
  2. 积分区域：0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π, 0≤z≤30 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq z \leq 3
  3. 被积函数：x2+y2=ρ2x^2+y^2 = \rho^2
  4. ∭Ω(x2+y2)dv=∫03dz∫02πdθ∫02ρ2⋅ρ dρ=3⋅2π⋅∫02ρ3dρ=6π⋅[ρ44]02=6π⋅4=24π\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^3 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho^2 \cdot \rho \, d\rho = 3 \cdot 2\pi \cdot \int_0^2 \rho^3 d\rho = 6\pi \cdot \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_0^2 = 6\pi \cdot 4 = 24\pi

答案：24π24\pi

例题2：圆锥区域

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω\Omega 由圆锥 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 和平面 z=1z = 1 围成。

参考答案(4 个标签)
三重积分柱坐标圆锥体先二后一

解题思路： 圆锥区域，被积函数仅含 zz，可以用柱坐标，也可以用先二后一法。

详细步骤：

方法一：柱坐标（先对 zz 积分）

  1. 柱坐标下：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, ρ≤z≤10 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \rho \leq z \leq 1
  2. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫01ρ dρ∫ρ1z dz=2π∫01ρ⋅[z22]ρ1dρ=2π∫01ρ(12−ρ22)dρ=π∫01(ρ−ρ3)dρ=π(12−14)=π4\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_\rho^1 z \, dz = 2\pi \int_0^1 \rho \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_\rho^1 d\rho = 2\pi \int_0^1 \rho\left(\frac{1}{2} - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = \pi \int_0^1 (\rho - \rho^3) d\rho = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{4}

方法二：先二后一

  1. 0≤z≤10 \leq z \leq 1，截面 Dz:x2+y2≤z2D_z: x^2+y^2 \leq z^2，面积 S(z)=πz2S(z) = \pi z^2
  2. ∭Ωz dv=∫01z⋅πz2dz=π∫01z3dz=π4\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^1 z \cdot \pi z^2 dz = \pi \int_0^1 z^3 dz = \frac{\pi}{4}

答案：π4\frac{\pi}{4}

例题3：旋转抛物面与球面围成

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω\Omega 由 z=2−x2−y2z = \sqrt{2-x^2-y^2} 和 z=x2+y2z = x^2+y^2 围成。

参考答案(5 个标签)
三重积分柱坐标旋转抛物面球面交线

解题思路： 先求交线确定投影区域，再用柱坐标计算。

详细步骤：

  1. 交线：2−x2−y2=x2+y2\sqrt{2-x^2-y^2} = x^2+y^2，令 r2=x2+y2r^2 = x^2+y^2，则 2−r2=r2\sqrt{2-r^2} = r^2 平方得 2−r2=r4⇒r4+r2−2=0⇒(r2+2)(r2−1)=0⇒r=12-r^2 = r^4 \Rightarrow r^4+r^2-2=0 \Rightarrow (r^2+2)(r^2-1)=0 \Rightarrow r=1
  2. 交线在 z=1z=1 处，投影区域 D:x2+y2≤1D: x^2+y^2 \leq 1
  3. 柱坐标下：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, ρ2≤z≤2−ρ20 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \rho^2 \leq z \leq \sqrt{2-\rho^2}
  4. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫01ρ dρ∫ρ22−ρ2z dz=2π∫01ρ⋅[z22]ρ22−ρ2dρ\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}} z \, dz = 2\pi \int_0^1 \rho \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}} d\rho =π∫01ρ[(2−ρ2)−ρ4]dρ=π∫01(2ρ−ρ3−ρ5)dρ=π[1−14−16]=π⋅712=7π12= \pi \int_0^1 \rho[(2-\rho^2) - \rho^4] d\rho = \pi \int_0^1 (2\rho - \rho^3 - \rho^5) d\rho = \pi\left[1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right] = \pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{12}

答案：7π12\frac{7\pi}{12}

练习题

练习1

计算 ∭Ωx2+y2 dv\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} \, dv，其中 Ω:x2+y2≤9, −1≤z≤2\Omega: x^2+y^2 \leq 9, \, -1 \leq z \leq 2。

参考答案(3 个标签)
三重积分柱坐标圆柱体

解题思路： 圆柱体 + 被积函数含 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}，用柱坐标。

详细步骤：

  1. 柱坐标：0≤ρ≤3, 0≤θ≤2π, −1≤z≤20 \leq \rho \leq 3, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, -1 \leq z \leq 2
  2. ∭Ωx2+y2dv=∫−12dz∫02πdθ∫03ρ⋅ρ dρ=3⋅2π⋅∫03ρ2dρ=6π⋅9=54π\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} dv = \int_{-1}^2 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 \rho \cdot \rho \, d\rho = 3 \cdot 2\pi \cdot \int_0^3 \rho^2 d\rho = 6\pi \cdot 9 = 54\pi

答案：54π54\pi

练习2

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2) \, dv，其中 Ω\Omega 由 x2+y2=2zx^2+y^2 = 2z 和 z=2z = 2 围成。

参考答案(3 个标签)
三重积分柱坐标旋转抛物面

解题思路： 旋转抛物面区域，柱坐标计算。

详细步骤：

  1. 交线：x2+y2=4x^2+y^2 = 4，投影区域 D:x2+y2≤4D: x^2+y^2 \leq 4
  2. 柱坐标：0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π, ρ22≤z≤20 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \frac{\rho^2}{2} \leq z \leq 2
  3. ∭Ω(x2+y2)dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ2/22ρ2 dz=2π∫02ρ3(2−ρ22)dρ=2π∫02(2ρ3−ρ52)dρ=2π[ρ42−ρ612]02=2π(8−163)=2π⋅83=16π3\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho \, d\rho \int_{\rho^2/2}^2 \rho^2 \, dz = 2\pi \int_0^2 \rho^3\left(2 - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = 2\pi \int_0^2 (2\rho^3 - \frac{\rho^5}{2}) d\rho = 2\pi\left[\frac{\rho^4}{2} - \frac{\rho^6}{12}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}

答案：16π3\frac{16\pi}{3}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ\rho极径rho点到 z 轴的距离，ρ≥0\rho \geq 0
θ\theta极角theta在 xOy 平面上与 x 轴正方向的夹角
zz竖坐标z coordinate与直角坐标的 z 相同
ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz柱坐标体积元素cylindrical volume element柱坐标系下的体积微元

中英对照

中文术语英文术语音标说明
柱坐标cylindrical coordinates/sɪˈlɪndrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪts/用极径、极角和竖坐标表示点的坐标系
旋转体solid of revolution/ˈsɒlɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/由平面曲线绕轴旋转而成的立体
圆柱体cylinder/ˈsɪləndər/圆柱面与两平面围成的立体
圆锥体cone/koʊn/圆锥面与平面围成的立体
旋转抛物面paraboloid of revolution/pəˈræbəlɔɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/抛物线绕轴旋转而成的曲面
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/坐标变换的偏导数行列式
上一章节直角坐标下的三重积分计算学习直角坐标系下三重积分的计算方法，掌握先一后二法和先二后一法。
下一章节球坐标下的三重积分计算学习球坐标系下三重积分的计算方法，掌握球坐标变换的适用场景和典型区域。
多元函数积分学