高斯公式（散度定理）

解题思路： 闭曲面外侧，用高斯公式转化为三重积分。散度为常数3。

详细步骤：

1. $P = x, \, Q = y, \, R = z$
2. $\frac{\partial P}{\partial x} = 1, \, \frac{\partial Q}{\partial y} = 1, \, \frac{\partial R}{\partial z} = 1$
3. 散度 $\nabla \cdot \vec{F} = 3$
4. 由高斯公式：$\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega 3 \, dv = 3 \times \text{球体积} = 3 \times \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$

答案：$4\pi a^3$

解题思路： 这是第一类曲面积分形式，但被积函数是 $\vec{F} \cdot \vec{n}$，等价于第二类曲面积分。锥面不是闭曲面，补面 $z=h$ 的上侧。

详细步骤：

1. 补面 $\Sigma_1: z = h, \, x^2+y^2 \leq h^2$，取上侧。则 $\Sigma + \Sigma_1$ 构成闭曲面，取外侧。
2. $\vec{F} = (x^2, y^2, z^2)$，散度 $\nabla \cdot \vec{F} = 2x+2y+2z$
3. 由高斯公式：$\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega 2(x+y+z) dv$
4. 由对称性，$\iiint_\Omega x \, dv = 0$，$\iiint_\Omega y \, dv = 0$
5. 柱坐标计算 $\iiint_\Omega z \, dv$：$\Omega: 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq h, \, \rho \leq z \leq h$ $\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^h \rho \, d\rho \int_\rho^h z \, dz = 2\pi \int_0^h \rho \cdot \frac{1}{2}(h^2-\rho^2) d\rho = \pi \int_0^h (h^2\rho - \rho^3) d\rho = \pi(\frac{h^4}{2} - \frac{h^4}{4}) = \frac{\pi h^4}{4}$
6. $\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = 2 \times \frac{\pi h^4}{4} = \frac{\pi h^4}{2}$
7. 计算补面 $\Sigma_1$ 上的积分：$z=h$，上侧，$\vec{F} \cdot d\vec{S} = z^2 dx\,dy = h^2 dx\,dy$ $\iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_{x^2+y^2 \leq h^2} h^2 dx\,dy = h^2 \cdot \pi h^2 = \pi h^4$
8. 因此 $\iint_\Sigma = \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{\pi h^4}{2} - \pi h^4 = -\frac{\pi h^4}{2}$

答案：$-\frac{\pi h^4}{2}$

解题思路： 计算散度，注意原点是奇点。对包围原点的闭曲面，用小球面挖去原点后应用高斯公式。

详细步骤：

1. $\vec{F} = (\frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3})$
2. $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$
3. 同理 $\frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}$，$\frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}$
4. 散度 $= \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = 0$（$r \neq 0$）
5. 对包围原点的闭曲面 $\Sigma$，作小球面 $\Sigma_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2$（取内侧，即指向原点），在 $\Sigma$ 和 $\Sigma_\varepsilon$ 之间的区域应用高斯公式： $\oiint_{\Sigma + \Sigma_\varepsilon^-} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega 0 \, dv = 0$
6. 因此 $\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = -\oiint_{\Sigma_\varepsilon^-} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \oiint_{\Sigma_\varepsilon^+} \vec{F} \cdot d\vec{S}$（$\Sigma_\varepsilon^+$ 为外侧）
7. 在小球面上 $r = \varepsilon$，$\vec{F} = \frac{\vec{r}}{\varepsilon^3}$，法向量 $\vec{n} = \frac{\vec{r}}{\varepsilon}$ $\vec{F} \cdot \vec{n} = \frac{\vec{r} \cdot \vec{r}}{\varepsilon^4} = \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^4} = \frac{1}{\varepsilon^2}$
8. 通量 $= \iint_{\Sigma_\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon^2} dS = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi\varepsilon^2 = 4\pi$

答案：通过包围原点的任意闭曲面外侧的通量为 $4\pi$（与曲面形状无关，这就是静电场中的高斯定律）。

解题思路： 闭曲面外侧，用高斯公式。散度为常数3。

详细步骤：

1. $P = x-y, \, Q = y-z, \, R = z-x$
2. $\frac{\partial P}{\partial x} = 1, \, \frac{\partial Q}{\partial y} = 1, \, \frac{\partial R}{\partial z} = 1$，散度 $= 3$
3. 由高斯公式：$= \iiint_\Omega 3 \, dv = 3 \times 1 = 3$

答案：$3$

解题思路： 上半球面不是闭曲面，补面 $z=0$ 的下侧，用高斯公式。

详细步骤：

1. 补面 $\Sigma_1: z=0, \, x^2+y^2 \leq a^2$，取下侧。$\Sigma+\Sigma_1$ 为闭曲面外侧。
2. $P = xz^2, \, Q = x^2y-z^3, \, R = 2xy+y^2z$
3. 散度 $= z^2 + x^2 + y^2$
4. 由高斯公式：$\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\phi \, d\phi \int_0^a r^2 \cdot r^2 dr = 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{2\pi a^5}{5}$
5. 补面上 $z=0$，下侧，$\vec{F} \cdot d\vec{S} = R \, dx\,dy = 2xy \, dx\,dy$（下侧取负） $\iint_{\Sigma_1} = -\iint_{D_{xy}} 2xy \, dx\,dy = 0$（由对称性）
6. 因此 $\iint_\Sigma = \frac{2\pi a^5}{5} - 0 = \frac{2\pi a^5}{5}$

答案：$\frac{2\pi a^5}{5}$