第二类曲线积分（对坐标的积分）

物理背景：变力做功

第一类曲线积分的物理背景是”曲线质量”，而第二类曲线积分的物理背景是变力沿曲线做功。设质点在变力 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$ 的作用下沿有向曲线 $L$ 移动，力所做的功就是第二类曲线积分：

$W = \int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$

第二类曲线积分的定义

第二类曲线积分

设 $L$ 为空间中一条有向光滑或分段光滑曲线，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 个有向小弧段 $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}$ ，设其在 $x, y, z$ 轴上的投影分别为 $\Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i$ ，在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n \left[ P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta y_i + R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta z_i \right]$

如果当各小弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限存在，则称此极限为向量函数 $(P,Q,R)$ 沿有向曲线 $L$ 的第二类曲线积分（对坐标的曲线积分），记作：

$\int_L P(x,y,z) \, dx + Q(x,y,z) \, dy + R(x,y,z) \, dz$

或简写为 $\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$ ，其中 $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$ 。

平面情形

平面上的第二类曲线积分只有两个分量：

$\int_L P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy$

第二类曲线积分的性质

定理1

线性性质： $\int_L (aP_1+bP_2) dx + (aQ_1+bQ_2) dy = a\int_L P_1dx+Q_1dy + b\int_L P_2dx+Q_2dy$
弧段可加性：若 $L = L_1 + L_2$ （方向一致首尾相接），则 $\int_L Pdx+Qdy = \int_{L_1} Pdx+Qdy + \int_{L_2} Pdx+Qdy$
方向性：第二类曲线积分与曲线的方向有关！ $\int_{L^-} P \, dx + Q \, dy + R \, dz = -\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$ 其中 $L^-$ 表示与 $L$ 方向相反的同一条曲线。

几何解释

推论

证明

符号说明

“方向性”是第二类曲线积分与第一类曲线积分最本质的区别。第一类曲线积分 $\int_L f \, ds$ 与方向无关，而第二类曲线积分 $\int_L Pdx+Qdy$ 改变方向后变号。这是因为 $ds > 0$ ，而 $dx, dy$ 是有向投影，可正可负。

第二类曲线积分的计算

参数方程

参数方程计算

设有向曲线 $L$ 由参数方程给出： $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ 当参数 $t$ 单调地从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x(t),y(t),z(t))$ 从 $L$ 的起点沿 $L$ 移动到终点，则

$\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_\alpha^\beta \left[ P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) + R(x(t),y(t),z(t))z'(t) \right] dt$

第二类曲线积分化为定积分时，下限 $\alpha$ 对应起点，上限 $\beta$ 对应终点，不要求下限小于上限！这与第一类曲线积分不同。

平面曲线（直角坐标）

若有向曲线 $L$ 由 $y = y(x)$ 给出， $x$ 从 $a$ 变到 $b$ ，则：

$\int_L P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy = \int_a^b \left[ P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y'(x) \right] dx$

两类曲线积分的关系

定理2

设 $L$ 为有向光滑曲线， $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 是 $L$ 在点 $(x,y,z)$ 处的切向量的方向余弦（切向量方向与曲线方向一致），则两类曲线积分之间有如下关系：

$\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \, ds$

即： $\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L (\vec{F} \cdot \vec{\tau}) \, ds$

其中 $\vec{\tau} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 是单位切向量。

几何解释

推论

证明

符号说明

这个关系的本质是：有向弧长元素 $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$ 可以表示为单位切向量乘以弧长元素，即 $d\vec{r} = \vec{\tau} \, ds$ 。因此 $\vec{F} \cdot d\vec{r} = (\vec{F} \cdot \vec{\tau}) \, ds$ 。

典型例题

例题1：变力做功

计算 $\int_L x \, dy - y \, dx$ ，其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 沿逆时针方向一周。

参考答案(4 个标签)

第二类曲线积分椭圆参数方程逆时针

解题思路：椭圆用参数方程表示，逆时针方向对应参数从0到 $2\pi$ 。

详细步骤：

参数方程： $x = a\cos t, \, y = b\sin t, \, t: 0 \to 2\pi$
$dx = -a\sin t \, dt, \, dy = b\cos t \, dt$
$\int_L x \, dy - y \, dx = \int_0^{2\pi} [a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t)] dt = \int_0^{2\pi} ab(\cos^2 t + \sin^2 t) dt = ab \int_0^{2\pi} dt = 2\pi ab$

答案： $2\pi ab$

（这正好是椭圆面积的2倍，与格林公式一致。）

例题2：沿不同路径的积分

计算 $\int_L (x+y) \, dx + (x-y) \, dy$ ，其中 $L$ 分别为： (1) 抛物线 $y = x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ ； (2) 直线 $y = x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 。

参考答案(3 个标签)

第二类曲线积分不同路径直角坐标

解题思路：分别沿两条路径计算，比较结果。

详细步骤：

(1) 沿抛物线 $y = x^2$ ， $x: 0 \to 1$ ， $dy = 2x \, dx$ ： $\int_L (x+y)dx + (x-y)dy = \int_0^1 [(x+x^2) + (x-x^2)\cdot 2x] dx = \int_0^1 (x+x^2+2x^2-2x^3) dx = \int_0^1 (x+3x^2-2x^3) dx = [\frac{x^2}{2}+x^3-\frac{x^4}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}+1-\frac{1}{2} = 1$

(2) 沿直线 $y = x$ ， $x: 0 \to 1$ ， $dy = dx$ ： $\int_L (x+y)dx + (x-y)dy = \int_0^1 [(x+x) + (x-x)] dx = \int_0^1 2x \, dx = [x^2]_0^1 = 1$

答案：两条路径的积分结果都是1（这是因为被积表达式是全微分，积分与路径无关，详见格林公式一章）。

例题3：空间曲线积分

计算 $\int_L y \, dx + z \, dy + x \, dz$ ，其中 $L$ 是螺旋线 $x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, z = bt$ ，从 $t=0$ 到 $t=2\pi$ 。

参考答案(3 个标签)

第二类曲线积分螺旋线空间曲线

解题思路：空间曲线参数方程，直接代入公式。

详细步骤：

$dx = -a\sin t \, dt, \, dy = a\cos t \, dt, \, dz = b \, dt$
$\int_L y \, dx + z \, dy + x \, dz = \int_0^{2\pi} [a\sin t \cdot (-a\sin t) + bt \cdot a\cos t + a\cos t \cdot b] dt$ $= \int_0^{2\pi} (-a^2\sin^2 t + abt\cos t + ab\cos t) dt$
分别计算： $\int_0^{2\pi} -a^2\sin^2 t \, dt = -a^2 \cdot \pi = -\pi a^2$ $\int_0^{2\pi} ab\cos t \, dt = ab[\sin t]_0^{2\pi} = 0$ $\int_0^{2\pi} abt\cos t \, dt = ab[t\sin t + \cos t]_0^{2\pi} = ab(1 - 1) = 0$
结果： $-\pi a^2$

答案： $-\pi a^2$

练习题

练习1

计算 $\int_L (x^2 - y^2) \, dx$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y = x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,4)$ 的一段。

参考答案(3 个标签)

第二类曲线积分抛物线直角坐标

解题思路：以 $x$ 为参数， $y = x^2$ ， $dy = 2x \, dx$ ，但被积表达式只有 $dx$ 项。

详细步骤：

$y = x^2, \, x: 0 \to 2$
$\int_L (x^2 - y^2) dx = \int_0^2 (x^2 - x^4) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40-96}{15} = -\frac{56}{15}$

答案： $-\frac{56}{15}$

练习2

计算 $\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$ ，其中 $\vec{F} = (y, -x)$ ， $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$ 沿顺时针方向一周。

参考答案(4 个标签)

第二类曲线积分圆周顺时针向量场

解题思路：顺时针方向，参数从 $2\pi$ 到 $0$ （或从 $0$ 到 $-2\pi$ ）。

详细步骤：

参数方程： $x = \cos t, \, y = \sin t$ ，顺时针 $t: 2\pi \to 0$
$dx = -\sin t \, dt, \, dy = \cos t \, dt$
$\int_L y \, dx - x \, dy = \int_{2\pi}^0 [\sin t \cdot (-\sin t) - \cos t \cdot \cos t] dt = \int_{2\pi}^0 -(\sin^2 t+\cos^2 t) dt = \int_{2\pi}^0 -1 \, dt = 2\pi$

答案： $2\pi$

（逆时针时结果为 $-2\pi$ ，顺时针变号。）

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_L Pdx+Qdy+Rdz$	第二类曲线积分	line integral of second kind	对坐标的曲线积分
$d\vec{r}$	有向弧长元素	directed arc element	$(dx, dy, dz)$ ，有向弧长微元
$\vec{F}$	向量场	vector field	$(P, Q, R)$ ，力场或向量函数
$L^-$	反向曲线	reverse curve	与 L 方向相反的曲线
$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$	方向余弦	direction cosines	切向量的方向余弦
$\vec{\tau}$	单位切向量	unit tangent vector	曲线方向的单位切向量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第二类曲线积分	line integral of the second kind	/laɪn ˈɪntɪɡrəl əv ðə ˈsɛkənd kaɪnd/	对坐标的曲线积分
对坐标的积分	integral with respect to coordinates	/ˈɪntɪɡrəl wɪð rɪˈspɛkt tuː koʊˈɔːrdɪnəts/	即第二类曲线积分
有向曲线	directed curve	/dɪˈrɛktɪd kɜːrv/	规定了方向的曲线
变力做功	work done by variable force	/wɜːrk dʌn baɪ ˈvɛriəbəl fɔːrs/	变力沿曲线所做的功
切向量	tangent vector	/ˈtændʒənt ˈvɛktər/	曲线切线方向的向量
方向余弦	direction cosines	/dɪˈrɛkʃən ˈkoʊsaɪnz/	向量与坐标轴夹角的余弦
全微分	total differential	/ˈtoʊtl ˌdɪfəˈrɛnʃəl/	$Pdx+Qdy$ 是某个函数的全微分
与路径无关	path independent	/pæθ ˌɪndɪˈpɛndənt/	积分值只依赖端点，不依赖路径

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