复利极限与 e 的出现

问题提出

呼噜星球的银行推出了一种新的存款产品，广告写着：

年利率 100%，存 1 元，一年后变成 2 元！

学生们觉得这很简单。但有个学生问：

老师，如果银行不是一年结一次利息，而是半年结一次呢？

我让大家算一算。

如果半年结一次息，每次利率是 50%：

• 半年后：$1 \times (1 + 0.5) = 1.5$ 元
• 一年后：$1.5 \times (1 + 0.5) = 2.25$ 元

“哇，比一年结一次多了 0.25 元！“学生们很惊讶。

另一个学生追问：

那如果每个季度结一次息呢？

每季度利率 25%，一年结 4 次：

$\left(1 + \frac{1}{4}\right)^4 = 1.25^4 \approx 2.4414$

更多了！

于是问题来了：

如果计息次数越来越多——每月、每天、每小时、每秒钟——本息和会无限增长吗？还是会趋向某个固定的数？

这就是我们今天要探索的核心问题。

观察与猜想

我们把问题一般化：

• 本金 1 元
• 年利率 100%
• 一年分 $n$ 次计息
• 每次利率 $\frac{1}{n}$

一年后的本息和为：

$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

让我们计算不同 $n$ 时的值：

学生们仔细观察这张表，发现了几个规律：

1. $a_n$ 随着 $n$ 增大而增大
2. 但增大的速度越来越慢
3. 数值似乎在向 2.718… 靠近

一个学生大胆猜想：

老师，我觉得 $a_n$ 不会无限增长，它会越来越接近一个大约 2.718 的数！

另一个学生补充：

就像圆的周长和直径的比值是 $\pi$ 一样，这个极限是不是也是一个特殊的常数？

我点点头。这个常数，地球上的数学家称之为自然常数 $e$：

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828459045\ldots$

严格证明

呼噜星球的学生不会只满足于数值观察。他们要求：

老师，你说它收敛到 $e$，就要证明它确实收敛！

我们需要证明两件事：

第一步：证明 $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ 单调递增

利用二项式定理展开：

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$

展开第 $k$ 项：

$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k! \cdot n^k} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$

当 $n$ 增大时，每个因子 $(1-\frac{j}{n})$ 都增大，因此每一项都增大。同时 $n$ 增大还会增加项数。所以 $a_{n+1} > a_n$，数列单调递增。

第二步：证明 $a_n$ 有上界

从上面的展开式，注意到每个 $(1-\frac{j}{n}) < 1$，所以：

$a_n < \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}$

又因为当 $k \geq 2$ 时，$k! \geq 2^{k-1}$，所以：

$\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$

因此：

$a_n < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} < 1 + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 3$

所以 $a_n < 3$，数列有上界。

结论

根据单调有界收敛定理：单调递增且有上界的数列必有极限。

因此 $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ 存在，我们把这个极限定义为 $e$。

结论与应用

通过这节课，呼噜星球的学生们得出了重要结论：

• 结论 1：当计息次数 $n \to \infty$ 时，本息和 $(1+\frac{1}{n})^n$ 趋向一个固定常数，记作 $e$
• 结论 2：$e \approx 2.71828$，且 $2 < e < 3$
• 结论 3：$e$ 的存在性由单调有界定理严格保证

这个发现让学生们兴奋不已。一个学生说：

原来银行的复利问题里，藏着一个和 $\pi$ 一样重要的数学常数！

我告诉他们：

这只是开始。$e$ 的神奇之处远不止于此。接下来，我们会用更严谨的方式定义 $e$，然后发现它在微积分、复数、概率等领域的惊人表现。

下一章，我们将从数列极限出发，给出 $e$ 的第一个严格定义。

上一章节开场：一个奇怪的极限从复利极限引出自然常数 e 的神秘出现

下一章节e 的身份初探：初等数学里的 e从数列与无穷级数两种视角定义和近似 e