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一个导数等于自身的函数

问题提出

呼噜星球的学生们已经知道了 ee 的两个定义。有一天，一个学生问了一个看似奇怪的问题：

老师，有没有一个函数，它的导数等于它自身？ 也就是说，有没有 f(x)f(x) 满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x)？

其他学生觉得这个问题很有趣。他们开始尝试：

  • f(x)=xf(x) = x？f′(x)=1≠xf'(x) = 1 \neq x
  • f(x)=x2f(x) = x^2？f′(x)=2x≠x2f'(x) = 2x \neq x^2
  • f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x？f′(x)=cos⁡x≠sin⁡xf'(x) = \cos x \neq \sin x

似乎都不行。

我在黑板上写下：

满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) 的函数，和自然常数 ee 有着最深刻的联系。

观察与猜想

我们从导数的定义出发。对任意函数 f(x)f(x)：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

如果 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x)，那么：

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=f(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f(x)

这意味着当 hh 很小时：

f(x+h)≈f(x)+h⋅f(x)=f(x)(1+h)f(x+h) \approx f(x) + h \cdot f(x) = f(x)(1+h)

学生们注意到这个递推关系。如果我们把区间 [0,x][0, x] 分成 nn 份，每份长度 h=xnh = \frac{x}{n}，反复应用这个近似：

f(x)≈f(n−1nx)(1+xn)≈f(n−2nx)(1+xn)2≈⋯≈f(0)(1+xn)nf(x) \approx f\left(\frac{n-1}{n}x\right)\left(1+\frac{x}{n}\right) \approx f\left(\frac{n-2}{n}x\right)\left(1+\frac{x}{n}\right)^2 \approx \cdots \approx f(0)\left(1+\frac{x}{n}\right)^n

当 n→∞n \to \infty 时：

f(x)=f(0)⋅lim⁡n→∞(1+xn)n=f(0)⋅exf(x) = f(0) \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = f(0) \cdot e^x

学生们惊呼：

原来满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) 的函数就是 exe^x 乘以一个常数！

严格证明

定理：函数 f(x)=exf(x) = e^x 满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x)

方法一：用级数定义证明

由 ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}，逐项求导（幂级数在收敛域内可逐项求导）：

ddxex=ddx(1+x+x22!+x33!+x44!+⋯ )\frac{d}{dx}e^x = \frac{d}{dx}\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)

=0+1+2x2!+3x23!+4x34!+⋯= 0 + 1 + \frac{2x}{2!} + \frac{3x^2}{3!} + \frac{4x^3}{4!} + \cdots

=1+x+x22!+x33!+⋯=ex= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = e^x

所以 (ex)′=ex(e^x)' = e^x。

方法二：用极限定义证明

由导数定义：

(ex)′=lim⁡h→0ex+h−exh=lim⁡h→0ex(eh−1)h=ex⋅lim⁡h→0eh−1h(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

需要证明 lim⁡h→0eh−1h=1\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1。

由 eh=∑k=0∞hkk!=1+h+h22!+⋯e^h = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^k}{k!} = 1 + h + \frac{h^2}{2!} + \cdots，所以：

eh−1h=1+h2!+h23!+⋯→1(h→0)\frac{e^h - 1}{h} = 1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} + \cdots \to 1 \quad (h \to 0)

因此 (ex)′=ex⋅1=ex(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x。

唯一性：所有满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) 的函数都是 CexCe^x

设 f(x)f(x) 满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x)，考虑 g(x)=f(x)e−xg(x) = f(x)e^{-x}。

g′(x)=f′(x)e−x−f(x)e−x=f(x)e−x−f(x)e−x=0g'(x) = f'(x)e^{-x} - f(x)e^{-x} = f(x)e^{-x} - f(x)e^{-x} = 0

所以 g(x)g(x) 是常数 CC，即 f(x)=Cexf(x) = Ce^x。

这说明：导数等于自身的函数，有且仅有 CexCe^x 这一族。

为什么 ee 是”自然”的

对一般的指数函数 axa^x：

(ax)′=lim⁡h→0ax+h−axh=ax⋅lim⁡h→0ah−1h=ax⋅ln⁡a(a^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = a^x \cdot \ln a

只有当 a=ea = e 时，ln⁡a=1\ln a = 1，此时 (ax)′=ax(a^x)' = a^x，导数等于自身。

这就是为什么以 ee 为底的对数叫”自然对数”——ee 是唯一一个让指数函数导数等于自身的底数。

结论与应用

  • 核心性质：(ex)′=ex(e^x)' = e^x，exe^x 的导数等于它自身
  • 唯一性：满足 f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) 的函数只有 f(x)=Cexf(x) = Ce^x
  • 自然性：ee 是唯一使 (ax)′=ax(a^x)' = a^x 的底数
  • 一般公式：(ekx)′=kekx(e^{kx})' = ke^{kx}

呼噜星球的学生们被这个性质深深震撼。一个学生说：

一个函数的导数等于它自己，这就像一条蛇咬住了自己的尾巴——自我循环，却又完全自洽！

我补充道：

正是因为这个性质，exe^x 成为描述所有”增长率与当前量成正比”的现象的标准工具：细胞分裂、放射性衰变、复利增长、电路充放电……这些现象的数学模型，核心都是微分方程 y′=kyy' = ky，而它的解就是 y=Cekxy = Ce^{kx}。

下一章，我们将探索 exe^x 的积分性质——既然导数等于自身，积分会怎样呢？

上一章节e 的核心特质：微积分里的 e指数函数的导数与积分特性
下一章节e^x 的积分：自身的逆运算讨论 $ \int e^x dx $ 及 $ \int e^{kx} dx $
自然常数 e 的数学冒险