e 的跨界能力：复平面里的 e

本章要解决的问题

• 指数的幂次可以是虚数吗？$e^{ix}$ 是什么意思？
• $e^{ix}$ 和三角函数有什么关系？
• 欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 为什么被称为最美的数学公式？

学习目标

• 用幂级数定义复指数函数 $e^z$
• 推导欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$
• 理解欧拉恒等式的深刻含义
• 掌握棣莫弗定理与复数的指数表示

建议阅读顺序

1. 把 e 拓展到复数：$e^{ix}$ — 将实指数的级数定义拓展到复平面
2. 欧拉恒等式与棣莫弗定理 — 代入特殊值，见证数学中最优美的等式

前置知识

• 复数的基本概念
• 三角函数的级数展开（或至少了解 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的幂级数）
• 上一章的 $e^x$ 级数定义

这一章是整个冒险中最令人惊叹的部分。一个从增长问题中诞生的常数，竟然能把指数、三角、虚数单位、圆周率和 1、0 统一在一个等式里。

章节

• 把 e 拓展到复数：e^{ix}
• 欧拉恒等式与棣莫弗定理

上一章节e^x 的积分：自身的逆运算讨论 $ \int e^x dx $ 及 $ \int e^{kx} dx $

下一章节把 e 拓展到复数：e^{ix}用幂级数定义 e^{ix} 并拆分实虚部