e 的身份初探：初等数学里的 e

本章要解决的问题

$(1+\frac{1}{n})^n$ 真的收敛吗？如何严格证明？
$e$ 能不能用一个无穷级数来表示？
数列定义和级数定义是等价的吗？

学习目标

掌握用单调有界定理证明数列 $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ 收敛
推导 $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 的级数表达式
理解两种定义的等价性
能用级数快速计算 $e$ 的近似值

建议阅读顺序

e 的第一个定义：数列极限 — 严格证明 $(1+\frac{1}{n})^n$ 单调递增且有上界
e 的第二个定义：无穷级数 — 从二项式展开出发，得到级数形式

前置知识

二项式定理
数列极限的单调有界收敛定理
无穷级数的基本概念

本章是整个课程的基石。只有严格定义了 $e$ ，后面的微积分、复数拓展才有坚实的基础。

章节

上一章节复利极限与 e 的出现通过复利极限观察 e 的数值逼近

下一章节e 的第一个定义：数列极限研究 $ (1+\tfrac{1}{n})^n $ 的收敛性与单调有界性