欧拉恒等式与棣莫弗定理

问题提出

上一章我们得到了欧拉公式：

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

呼噜星球的学生们对这个公式赞叹不已。但有个学生问：

老师，如果让 $x = \pi$，会发生什么？

我在黑板上写下：

$e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1 + i \cdot 0 = -1$

移项得到：

$e^{i\pi} + 1 = 0$

教室里一片寂静。学生们盯着这个等式，有人轻声说：

这……这也太美了吧。

这个等式就是欧拉恒等式，被誉为”数学中最美的公式”。

观察与猜想

让我们看看欧拉恒等式里包含了什么：

• $e$ — 自然常数，来自微积分和增长
• $i$ — 虚数单位，来自代数方程 $x^2 + 1 = 0$
• $\pi$ — 圆周率，来自几何
• $1$ — 自然数的单位，乘法的单位元
• $0$ — 加法的单位元

一个学生感慨道：

五个最重要的数学常数，居然能用一个等式连起来！而且还用到了加法、乘法、指数运算三种基本运算！

另一个学生问：

欧拉公式还有什么其他的应用吗？

我告诉他们，欧拉公式不仅给出了美丽的恒等式，还是复数运算的强大工具。

严格证明

欧拉恒等式的证明

由欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$，令 $x = \pi$：

$e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi$

因为 $\cos \pi = -1$，$\sin \pi = 0$，所以：

$e^{i\pi} = -1$

两边加 1：

$e^{i\pi} + 1 = 0$

证毕。

棣莫弗定理

利用欧拉公式，可以简洁地证明棣莫弗定理：

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

证明：

左边 $= (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) =$ 右边。

在没有欧拉公式之前，棣莫弗定理需要用数学归纳法和三角恒等式繁琐地证明。有了欧拉公式，一行就搞定了。

复数的指数形式与乘除运算

任意复数 $z$ 可以写成极坐标形式 $z = re^{i\theta}$，其中 $r = |z|$，$\theta = \arg(z)$。

复数乘法变得异常简单：

$z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

即：模长相乘，辐角相加。

复数除法：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

即：模长相除，辐角相减。

复数的 $n$ 次幂：

$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

复数的 $n$ 次方根：

$z^{1/n} = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$

一个非零复数有 $n$ 个不同的 $n$ 次方根，它们均匀分布在半径为 $r^{1/n}$ 的圆上。

用欧拉公式推导三角恒等式

欧拉公式还能轻松推导各种三角恒等式。

由 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 和 $e^{-ix} = \cos x - i\sin x$，相加相减得：

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

这就是三角函数的指数表达式。

例如，推导 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$：

$\cos^2 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{4} = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

比用三角恒等式推导简洁得多。

欧拉恒等式的深层意义

欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 的美不仅在于形式简洁，更在于它揭示了数学不同分支之间的统一：

• 分析（$e$、极限、微积分）
• 代数（$i$、方程）
• 几何（$\pi$、圆）
• 算术（$0$、$1$）

这些看似独立的领域，通过 $e^{ix}$ 这座桥梁连接在了一起。

物理学家理查德·费曼称欧拉公式为”我们的宝石”和”数学中最卓越的、令人震惊的公式之一”。

结论与应用

• 欧拉恒等式：$e^{i\pi} + 1 = 0$，数学中最美的等式
• 棣莫弗定理：$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
• 复数指数形式：$z = re^{i\theta}$，使复数乘除和乘方开方变得简单
• 三角指数表达：$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$，$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

呼噜星球的学生们沉浸在欧拉恒等式的美感中。一个学生说：

以前我觉得 $e$ 只是微积分里的一个常数，现在我明白了，它是连接整个数学世界的桥梁。

我告诉他们：

$e$ 的冒险还没有结束。离开了纯数学的抽象世界，我们将在概率论和统计学中再次遇见 $e$——它描述着随机现象的规律。

上一章节把 e 拓展到复数：e^{ix}用幂级数定义 e^{ix} 并拆分实虚部

下一章节e 的现实身影：概率与统计里的 e从指数分布到正态分布，观察 e 的角色