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e 的第一个定义：数列极限

问题提出

上一章我们通过复利问题，数值上观察到 (1+1n)n(1+\frac{1}{n})^n 似乎趋向一个约为 2.718 的常数。

呼噜星球的学生们不满足于数值观察，他们问：

老师，我们能严格证明这个数列收敛吗？ 这个极限 ee 到底有什么性质？

今天，我们就来给出 ee 的第一个严格定义——数列极限定义。

观察与猜想

回顾数列：

an=(1+1n)n,n=1,2,3,…a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

我们已经计算过一些值：

  • a1=2a_1 = 2
  • a2=2.25a_2 = 2.25
  • a10≈2.5937a_{10} \approx 2.5937
  • a100≈2.7048a_{100} \approx 2.7048
  • a1000≈2.7169a_{1000} \approx 2.7169
  • a10000≈2.7181a_{10000} \approx 2.7181

从数值上看，ana_n 单调递增且增长越来越慢。我们猜想：

ana_n 单调递增且有上界，因此收敛。其极限值记为 ee。

严格证明

定理：数列 an=(1+1n)na_n = (1+\frac{1}{n})^n 单调递增且有上界

一、单调性证明

方法一：二项式展开比较法

利用二项式定理：

an=∑k=0n(nk)1nk=∑k=0n1k!∏j=0k−1(1−jn)a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)

对比 ana_n 和 an+1a_{n+1} 的第 kk 项（k≤nk \leq n）：

an 的第 k 项=1k!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)a_n \text{ 的第 } k \text{ 项} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)

an+1 的第 k 项=1k!(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−k−1n+1)a_{n+1} \text{ 的第 } k \text{ 项} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)

因为 jn+1<jn\frac{j}{n+1} < \frac{j}{n}，所以 (1−jn+1)>(1−jn)(1-\frac{j}{n+1}) > (1-\frac{j}{n})，每一项都更大。

此外 an+1a_{n+1} 还多了第 n+1n+1 项（正数）。因此 an+1>ana_{n+1} > a_n。

方法二：均值不等式法

对 n+1n+1 个正数：1+1n1+\frac{1}{n}（出现 nn 次）和 11（出现 1 次），由算术-几何均值不等式：

n(1+1n)+1n+1>[(1+1n)n⋅1]1n+1\frac{n(1+\frac{1}{n}) + 1}{n+1} > \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot 1\right]^{\frac{1}{n+1}}

左边 =n+1+1n+1=1+1n+1= \frac{n+1+1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}

所以：

(1+1n+1)n+1>(1+1n)n\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

即 an+1>ana_{n+1} > a_n。

二、有界性证明

由二项式展开，当 k≥1k \geq 1 时：

(nk)1nk=1k!(1−1n)⋯(1−k−1n)<1k!\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) < \frac{1}{k!}

因此：

an<1+∑k=1n1k!a_n < 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}

注意到当 k≥2k \geq 2 时，k!=1⋅2⋅3⋯k≥2k−1k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k \geq 2^{k-1}，所以 1k!≤12k−1\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}。

an<1+1+12+14+⋯+12n−1<1+11−12=3a_n < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} < 1 + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 3

所以 an<3a_n < 3，有上界。

三、收敛性

由单调有界收敛定理：单调递增且有上界的数列必有极限。

定义：

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

且 2<e≤32 < e \leq 3。

更一般的形式

对任意实数 xx，可以证明：

ex=lim⁡n→∞(1+xn)ne^x = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n

这是指数函数的极限定义。

证明思路：当 xx 为正整数 mm 时：

(1+mn)n=[(1+1n/m)n/m]m→em(n→∞)\left(1+\frac{m}{n}\right)^n = \left[\left(1+\frac{1}{n/m}\right)^{n/m}\right]^m \to e^m \quad (n \to \infty)

对一般实数 xx，可通过取整和夹逼定理推广。

结论与应用

  • 定义：e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n
  • 性质：2<e<32 < e < 3，ee 是一个确定的实数
  • 推广：ex=lim⁡n→∞(1+xn)ne^x = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n

呼噜星球的学生们满意了。一个学生总结道：

原来 ee 不是随便定义的符号，而是一个数列的极限，而且它的存在性可以用最基本的单调有界定理证明！

但另一个学生马上问：

老师，用数列定义 ee，计算起来不太方便。有没有更快的计算方法？

这正是下一章要解决的问题——我们将发现 ee 的第二个定义：无穷级数。

上一章节e 的身份初探：初等数学里的 e从数列与无穷级数两种视角定义和近似 e
下一章节e 的第二个定义：无穷级数通过二项式与极限得到 $ e = \sum_{k=0}^{\infty} \tfrac{1}{k!} $
自然常数 e 的数学冒险