e 的第二个定义：无穷级数

问题提出

上一章我们用数列极限定义了 $e$：

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

但呼噜星球的学生们发现，用这个定义计算 $e$ 的近似值效率不高——$n=10000$ 时才精确到小数点后 3 位。

一个学生问：

老师，有没有更快的方法计算 $e$？比如用级数？

我笑着说：这个问题问得好。事实上，$e$ 有一个非常简洁的级数表达式。

观察与猜想

回顾二项式展开：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$

当 $n \to \infty$ 时，对于固定的 $k$：

$\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \to 1$

所以每一项趋向 $\frac{1}{k!}$。

学生们大胆猜想：

当 $n \to \infty$ 时，$(1+\frac{1}{n})^n$ 应该趋向 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$！

让我们验证一下这个级数的部分和：

只需要前 9 项，就精确到了小数点后 5 位！比数列定义快得多。

严格证明

定理：$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$

第一步：证明级数收敛

考虑正项级数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$。

当 $k \geq 2$ 时，$k! \geq 2^{k-1}$，所以 $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$。

而等比级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = 2$ 收敛。

由比较判别法，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 收敛。记其和为 $S$。

第二步：证明 $e \leq S$

由二项式展开，对任意 $n$：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq S$

两边取极限 $n \to \infty$，得 $e \leq S$。

第三步：证明 $e \geq S$

对任意固定的 $m \leq n$：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$

先令 $n \to \infty$（$m$ 固定），右边趋向 $\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}$，所以：

$e \geq \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}$

再令 $m \to \infty$，得 $e \geq S$。

综上，$e = S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$。

更一般的指数函数级数

类似地，可以证明对任意实数 $x$：

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

这个级数对所有实数 $x$ 都收敛（由比值判别法，$\lim_{k \to \infty} \frac{|x|^{k+1}/(k+1)!}{|x|^k/k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{|x|}{k+1} = 0 < 1$）。

用级数计算 $e$ 的精度

用前 $n+1$ 项近似 $e$，误差为：

$R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \cdots\right)$

括号内的和 $< 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots = \frac{n+1}{n}$

所以：

$R_n < \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n \cdot n!}$

例如 $n=10$ 时，误差 $< \frac{1}{10 \cdot 10!} \approx 2.8 \times 10^{-8}$，非常精确。

结论与应用

• 级数定义：$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$
• 指数函数：$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$，对所有实数 $x$ 收敛
• 计算效率：级数定义比数列定义收敛快得多，前 10 项即可达到 $10^{-7}$ 精度

呼噜星球的学生们非常满意。一个学生说：

原来 $e$ 有两个完全不同的定义——一个是数列极限，一个是无穷级数——但它们指向同一个数！这太神奇了！

我告诉他们：

这还不是全部。接下来我们会发现，$e$ 最神奇的性质在微积分里——以 $e$ 为底的指数函数，它的导数等于它自身。

上一章节e 的第一个定义：数列极限研究 $ (1+\tfrac{1}{n})^n $ 的收敛性与单调有界性

下一章节e 的核心特质：微积分里的 e指数函数的导数与积分特性