第二类换元法（三角换元） 第二类换元法主要用于处理含根式的积分。 适用情况 被积函数包含 a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}a2−x2、a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}a2+x2、x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2 等形式。 基本换元 a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}a2−x2：设 x=asintx = a \sin tx=asint a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}a2+x2：设 x=atantx = a \tan tx=atant x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2：设 x=asectx = a \sec tx=asect 例子 例子 1：∫11−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx∫1−x21dx 解： 设 x=sintx = \sin tx=sint，则 dx=costdtdx = \cos t dtdx=costdt 1−x2=1−sin2t=cost\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t1−x2=1−sin2t=cost ∫11−x2dx=∫1costcostdt=∫dt=t+C=arcsinx+C\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\cos t} \cos t dt = \int dt = t + C = \arcsin x + C∫1−x21dx=∫cost1costdt=∫dt=t+C=arcsinx+C 例子 2：∫11+x2dx\int \frac{1}{1 + x^2} dx∫1+x21dx 解： 设 x=tantx = \tan tx=tant，则 dx=sec2tdtdx = \sec^2 t dtdx=sec2tdt ∫11+x2dx=∫11+tan2tsec2tdt=∫1sec2tsec2tdt=∫dt=t+C=arctanx+C\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \int \frac{1}{1 + \tan^2 t} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec^2 t} \sec^2 t dt = \int dt = t + C = \arctan x + C∫1+x21dx=∫1+tan2t1sec2tdt=∫sec2t1sec2tdt=∫dt=t+C=arctanx+C 上一章节第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）：将 f(g(x))g'(x)dx 化为 ∫f(u)du 的方法。下一章节反常积分无穷区间与无界函数上的反常积分：敛散性判断与计算方法。
