凑微分法

凑微分法是处理复合函数积分的重要方法。

适用情况

适用情况：被积函数可以写成

f(g(x))g'(x)

的形式

基本步骤

识别被积函数中的复合函数部分
设 $u = g(x)$ ，计算 $du = g'(x)dx$
将积分转化为 $\int f(u) du$ 的形式
积分后回代

例子

例子： $\int x e^{x^2} dx$

解：

设 $u = x^2$ ，则 $du = 2x dx$
$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

常见凑微分形式

$\int f(ax + b) dx$ ：设 $u = ax + b$
$\int x f(x^2) dx$ ：设 $u = x^2$
$\int e^{ax} dx$ ：设 $u = ax$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ ：设 $u = f(x)$

练习题

练习 1

使用凑微分法计算 $\int x e^{x^2} dx$ 。

参考答案

解题思路：设 $u = x^2$ ，然后使用凑微分法。

详细步骤：

设 $u = x^2$ ，则 $du = 2x dx$ ，所以 $dx = \frac{du}{2x}$
$\int x e^{x^2} dx = \int x e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u du$
$\frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

答案： $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$

练习 2

计算 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$ 。

参考答案

解题思路：使用反三角函数积分公式。

详细步骤：

使用公式： $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C$
这里被积函数就是 $\frac{1}{1 + x^2}$ 的形式

答案： $\arctan x + C$

上一章节直接积分法直接利用基本积分公式进行积分的方法与基础例题。

下一章节三角恒等变换利用三角恒等式（倍角、半角、积化和差等）简化被积函数的技巧。