积分保号性 积分保号性描述了函数符号与积分值符号之间的关系。 基本定理 数学定理定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。定理3设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，则： 如果 f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 在 [a,b][a, b][a,b] 上成立，则 ∫abf(x)dx≥0\int_a^b f(x) dx \geq 0∫abf(x)dx≥0 如果 f(x)>0f(x) > 0f(x)>0 在 [a,b][a, b][a,b] 上成立，则 ∫abf(x)dx>0\int_a^b f(x) dx > 0∫abf(x)dx>0 几何解释推论证明符号说明 应用例子 例子：证明 ∫01x2dx>0\int_0^1 x^2 dx > 0∫01x2dx>0 解： 在 [0,1][0, 1][0,1] 上，x2≥0x^2 \geq 0x2≥0 且只在 x=0x = 0x=0 时等于 0 由于 x2x^2x2 在 [0,1][0, 1][0,1] 上连续且非负，根据积分保号性，∫01x2dx≥0\int_0^1 x^2 dx \geq 0∫01x2dx≥0 进一步，由于 x2>0x^2 > 0x2>0 在 (0,1](0, 1](0,1] 上成立，所以 ∫01x2dx>0\int_0^1 x^2 dx > 0∫01x2dx>0 上一章节区间可加性积分对区间的可加性：将积分区间分段后各段积分之和等于整体积分。下一章节积分中值定理积分中值定理：存在 ξ 使积分等于函数值乘以区间长度的证明与几何意义。
