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积分的线性性质

线性性质是积分最基本的性质之一。

基本定理

定理1

设 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 II 上连续，aa 和 bb 为常数，则

∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx

几何解释
推论
证明
符号说明

证明

设 F(x)F(x) 和 G(x)G(x) 分别是 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的原函数，则

(aF(x)+bG(x))′=aF′(x)+bG′(x)=af(x)+bg(x)(aF(x) + bG(x))' = aF'(x) + bG'(x) = af(x) + bg(x)

所以 aF(x)+bG(x)aF(x) + bG(x) 是 af(x)+bg(x)af(x) + bg(x) 的原函数。

几何意义

应用例子

例子：计算 ∫(3x2+2x)dx\int (3x^2 + 2x) dx

解：

  • ∫3x2dx=3⋅x33=x3\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
  • ∫2xdx=2⋅x22=x2\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2
  • 所以 ∫(3x2+2x)dx=x3+x2+C\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C

练习题

练习 1

利用线性性质计算 ∫(2x3−3x2+4x)dx\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx。

参考答案

解题思路：使用积分的线性性质，将积分分解为各个部分的积分。

详细步骤：

  1. ∫2x3dx=2⋅x44=x42\int 2x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}
  2. ∫−3x2dx=−3⋅x33=−x3\int -3x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3
  3. ∫4xdx=4⋅x22=2x2\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2
  4. 所以 ∫(2x3−3x2+4x)dx=x42−x3+2x2+C\int (2x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C

答案：x42−x3+2x2+C\frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + C

练习 2

计算 ∫(x2+2x+1)dx\int (x^2 + 2x + 1) dx。

参考答案

解题思路：使用线性性质和基本积分公式。

详细步骤：

  1. ∫x2dx=x33\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}
  2. ∫2xdx=2⋅x22=x2\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2
  3. ∫1dx=x\int 1 dx = x
  4. 所以 ∫(x2+2x+1)dx=x33+x2+x+C\int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C

答案：x33+x2+x+C\frac{x^3}{3} + x^2 + x + C

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一元函数积分学