利用周期性

利用函数的周期性可以简化定积分的计算。

周期函数的积分

证明：利用积分的区间可加性和周期函数的性质。

应用例子

例子 1：计算 $\int_0^{2\pi} \sin x dx$

解：

• $\sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的函数
• $\int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$（因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的正负面积相等）

例子 2：计算 $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx$

解：

• $\cos^2 x$ 是周期为 $\pi$ 的函数
• $\int_0^{4\pi} \cos^2 x dx = 4\int_0^{\pi} \cos^2 x dx = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$

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练习题

练习 1

利用周期性计算 $\int_0^{6\pi} \sin x dx$。

上一章节利用对称性利用奇偶函数在对称区间上的积分特性简化计算。

下一章节利用换元法定积分的换元法：变量替换时上下限同步变换的技巧与例题。