有理函数积分

有理函数积分使用部分分式分解的方法。

部分分式分解

步骤

1. 将分母因式分解
2. 根据分母的因式确定部分分式的形式
3. 通过比较系数确定待定系数
4. 分别积分各个部分分式

例子

例子 1：$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$

解：

• $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$
• 通分：$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
• 比较分子：$1 = A(x+1) + B(x-1) = (A+B)x + (A-B)$
• 解得：$A = \frac{1}{2}$，$B = -\frac{1}{2}$
• $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int \frac{1/2}{x-1} dx + \int \frac{-1/2}{x+1} dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$

练习题

练习 1

计算 $\int \frac{1}{x^2 - 4} dx$。