无理函数积分 无理函数积分通常使用代换法消去根式。 代换法 适用情况：被积函数包含根式。基本思路：通过适当的代换消去根式。 例子 例子 1：∫1xdx\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx∫x1dx 解： 设 u=xu = \sqrt{x}u=x，则 x=u2x = u^2x=u2，dx=2ududx = 2u dudx=2udu ∫1xdx=∫1u⋅2udu=∫2du=2u+C=2x+C\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{u} \cdot 2u du = \int 2 du = 2u + C = 2\sqrt{x} + C∫x1dx=∫u1⋅2udu=∫2du=2u+C=2x+C 例子 2：∫1xx2−1dx\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx∫xx2−11dx 解： 设 x=sectx = \sec tx=sect，则 dx=secttantdtdx = \sec t \tan t dtdx=secttantdt x2−1=sec2t−1=tant\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan tx2−1=sec2t−1=tant ∫1xx2−1dx=∫1sect⋅tant⋅secttantdt=∫dt=t+C=arccos1x+C\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx = \int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t dt = \int dt = t + C = \arccos \frac{1}{x} + C∫xx2−11dx=∫sect⋅tant1⋅secttantdt=∫dt=t+C=arccosx1+C 上一章节三角函数积分三角函数积分的通用方法：万能代换与特殊技巧。下一章节换元积分法
