积分与微分的关系

积分与微分是互逆的运算。

基本关系

定理2

$\frac{d}{dx}\left[\int f(x) dx\right] = f(x)$
$\int f'(x) dx = f(x) + C$

几何解释

推论

证明

符号说明

几何解释

积分是微分的逆运算
积分常数 $C$ 反映了原函数的不唯一性

验证方法

可以通过求导来验证积分结果是否正确：

例子：验证 $\int 2x dx = x^2 + C$ 是否正确

验证： $\frac{d}{dx}(x^2 + C) = 2x$ ，所以积分结果正确。

练习题

练习 1

验证 $\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x + C$ 是否正确。

参考答案

解题思路：通过求导验证积分结果是否正确。

详细步骤：

计算 $\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C)$ ： $\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + C) = e^x + \sin x$
比较结果：
- 被积函数： $e^x + \sin x$
- 导数结果： $e^x + \sin x$
由于导数结果等于被积函数，所以积分结果正确。

答案：积分结果正确。

上一章节积分的线性性质不定积分的线性性质：常数倍与加法法则的证明与例题。

下一章节积分的运算性质积分的运算性质：可加性、齐次性与结合性的具体体现。