三角恒等变换 三角恒等变换可以简化含三角函数的积分。 适用情况 适用情况：被积函数包含三角函数 常用恒等式 sin2x=1−cos2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}sin2x=21−cos2x cos2x=1+cos2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x sinxcosx=12sin2x\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2xsinxcosx=21sin2x sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1sin2x+cos2x=1 例子 例子：∫sin2xdx\int \sin^2 x dx∫sin2xdx 解： 使用恒等式 sin2x=1−cos2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}sin2x=21−cos2x ∫sin2xdx=∫1−cos2x2dx=12x−14sin2x+C\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C∫sin2xdx=∫21−cos2xdx=21x−41sin2x+C 练习题 练习 1 使用三角恒等变换计算 ∫cos2xdx\int \cos^2 x dx∫cos2xdx。 参考答案解题思路：使用恒等式 cos2x=1+cos2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x。详细步骤： 使用恒等式：cos2x=1+cos2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x ∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx=12∫(1+cos2x)dx\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx∫cos2xdx=∫21+cos2xdx=21∫(1+cos2x)dx 12∫(1+cos2x)dx=12(x+12sin2x)+C=x2+sin2x4+C\frac{1}{2}\int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C21∫(1+cos2x)dx=21(x+21sin2x)+C=2x+4sin2x+C 答案：x2+sin2x4+C\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C2x+4sin2x+C上一章节凑微分法凑微分法（第一类换元法）：将被积表达式配成 d(g(x)) 形式的技巧。下一章节部分分式分解将有理函数分解为部分分式后再逐项积分的系统方法。
