常见应用

掌握定义与导数性质后，最重要的是多做例题。以下例子展示了“积分上限函数求导”在不同场景下的基本思路。

基本应用

例子 1：设 $F(x) = \int_0^x \sin t \, dt$，求 $F'(x)$

解：直接使用 $F'(x)=f(x)$，可得 $F'(x) = \sin x$。

例子 2：设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt$，求 $F'(x)$

解：将被积函数视为 $f(t)=\frac{1}{t}$，所以 $F'(x) = \frac{1}{x}$。

复杂应用

例子 3：设 $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt$，求 $F'(x)$

解：$F'(x) = e^{-x^2}$，即使被积函数无法求原函数，也能直接得到导数。

例子 4：设 $F(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} \, dt$，求 $F'(x)$

解：$F'(x) = \frac{\sin x}{x}$。只要被积函数在积分上限处有意义，导数仍然存在。

这些例题强调：“积分上限函数的导数 = 被积函数在上限处的取值”，无论被积函数是否容易积分，求导都非常直接。

上一章节定义与导数性质积分上限函数的定义及其导数等于被积函数这一核心性质。

下一章节变限积分与推广变限积分的求导法则及其推广形式的推导与应用。