线性性质

线性性质是定积分最基本的性质之一。

基本线性性质

定理1

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $k$ 为常数，则：

$\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$
$\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$

几何解释

推论

证明

利用积分的线性性质和极限的线性性质即可证明。

符号说明

应用例子

例子：计算 $\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx$

解：

$\int_0^1 (2x^2 + 3x) dx = 2\int_0^1 x^2 dx + 3\int_0^1 x dx$
$= 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$

练习题

练习 1

利用线性性质计算 $\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx$ 。

参考答案

解题思路：利用积分的线性性质，将积分分解为三个简单积分的和。

详细步骤：

$\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx = 3\int_0^1 x^2 dx + 2\int_0^1 x dx + \int_0^1 1 dx$
$= 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

答案： $3$

上一章节定积分的性质

下一章节区间可加性积分对区间的可加性：将积分区间分段后各段积分之和等于整体积分。