积分的绝对值性质 积分的绝对值性质描述了积分的绝对值与绝对值的积分之间的关系。 基本定理 数学定理定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。定理6设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，则：∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx∫abf(x)dx≤∫ab∣f(x)∣dx几何解释推论证明符号说明 应用例子 例子：估计 ∫01sin(πx)dx\int_0^1 \sin(\pi x) dx∫01sin(πx)dx 的绝对值 解： ∣sin(πx)∣≤1|\sin(\pi x)| \leq 1∣sin(πx)∣≤1 在 [0,1][0, 1][0,1] 上成立 根据绝对值性质：∣∫01sin(πx)dx∣≤∫01∣sin(πx)∣dx≤∫011dx=1\left|\int_0^1 \sin(\pi x) dx\right| \leq \int_0^1 |\sin(\pi x)| dx \leq \int_0^1 1 dx = 1∫01sin(πx)dx≤∫01∣sin(πx)∣dx≤∫011dx=1 实际上，∫01sin(πx)dx=[−1πcos(πx)]01=2π≈0.637\int_0^1 \sin(\pi x) dx = [-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)]_0^1 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637∫01sin(πx)dx=[−π1cos(πx)]01=π2≈0.637 上一章节积分的比较性质若 f(x)≤g(x)，则积分也满足同样大小关系——积分比较性质的证明与例题。下一章节积分的单调性被积函数非负时，积分随区间增大而增大——积分单调性的条件与证明。
