函数的奇偶性

定义

函数的奇偶性

前提：函数的定义域关于原点对称。

偶函数（Even Function）：如果 $f(-x) = f(x)$ ，则 $f(x)$ 为偶函数，其图形关于 y 轴对称。
奇函数（Odd Function）：如果 $f(-x) = -f(x)$ ，则 $f(x)$ 为奇函数，其图形关于原点对称。

几何特征

偶函数的图像关于 y 轴对称
奇函数的图像关于原点对称

性质

偶函数 × 偶函数 = 偶函数
奇函数 × 奇函数 = 偶函数
偶函数 × 奇函数 = 奇函数
偶函数 + 偶函数 = 偶函数
奇函数 + 奇函数 = 奇函数
偶函数 + 奇函数通常既非奇也非偶；若其中一个函数是零函数，则结果仍具有另一个函数的奇偶性

常见例子

偶函数： $x^2$ 、 $x^4$ 、 $\cos x$ 、 $|x|$
奇函数： $x$ 、 $x^3$ 、 $\sin x$ 、 $\tan x$

判断方法

定义法：直接利用奇偶性的定义进行判断
图像法：观察函数图像是否具有对称性
代数法：通过计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较

重要性质

奇函数在原点处的函数值为零（如果原点在定义域内）
偶函数的导数是奇函数
奇函数的导数是偶函数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + x$ 的奇偶性。

参考答案(3 个标签)

奇偶性奇函数函数判定

解题思路：需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

详细步骤：

计算 $f(-x)$ ： $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$
比较：因为 $f(-x) = -f(x)$ ，所以该函数是奇函数。

答案：该函数是奇函数。

练习 2

判断函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的奇偶性。

参考答案(3 个标签)

奇偶性偶函数函数判定

解题思路：需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

详细步骤：

计算 $f(-x)$ ： $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1 = x^2 - 2x + 1$
比较： $f(-x) \neq f(x)$ 且 $f(-x) \neq -f(x)$
因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。

答案：该函数既不是奇函数也不是偶函数。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$-x$	数学符号	negative x	表示自变量的相反数
$f(-x)$	数学符号	f of negative x	函数在 $-x$ 处的函数值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
奇偶性	parity	/ˈpærɪti/	函数关于原点或 y 轴对称的性质
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数，图像关于原点对称
偶函数	even function	/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = f(x)$ 的函数，图像关于 y 轴对称
对称性	symmetry	/ˈsɪmɪtri/	函数图像的对称性质
原点对称	origin symmetry	/ˈɒrɪdʒɪn ˈsɪmɪtri/	图像关于原点对称
y 轴对称	y-axis symmetry	/waɪ ˈæksɪs ˈsɪmɪtri/	图像关于 y 轴对称
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围

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