函数的拐点

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
2. $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$
3. 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 2$
4. 当 $x < 2$ 时，$f''(x) < 0$，函数为凹函数
5. 当 $x > 2$ 时，$f''(x) > 0$，函数为凸函数
6. $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$

答案：拐点为 $(2, 3)$。

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = \frac{3x^2(x^2 + 1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2(x^2 + 3)}{(x^2 + 1)^2}$
2. $f''(x) = \frac{(2x(x^2 + 3) + x^2 \cdot 2x)(x^2 + 1)^2 - x^2(x^2 + 3) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$
3. 简化后：$f''(x) = \frac{2x(3 - x^2)}{(x^2 + 1)^3}$
4. 令 $f''(x) = 0$，得 $x = 0, \pm \sqrt{3}$
5. 分析符号变化：
   • $x = 0$：符号从负变正，是拐点
   • $x = \pm \sqrt{3}$：符号从正变负，是拐点

答案：拐点为 $(0, 0)$，$(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$，$(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$。

解题思路： 求二阶导数，找临界点，分析符号变化。

详细步骤：

1. $f'(x) = \cos x$
2. $f''(x) = -\sin x$
3. 令 $f''(x) = 0$，得 $\sin x = 0$，即 $x = k\pi$（$k$ 为整数）
4. 分析符号变化：
   • 当 $x$ 从 $(2k-1)\pi$ 到 $2k\pi$ 时，$f''(x)$ 从正变负
   • 当 $x$ 从 $2k\pi$ 到 $(2k+1)\pi$ 时，$f''(x)$ 从负变正
5. 因此所有 $x = k\pi$ 都是拐点

答案：拐点为 $(k\pi, 0)$，其中 $k$ 为整数。

解题思路： 先由极限确定 $f(1)$ 和 $f'(1)$，再检查题设是否足以确定 $f''(1)$ 及其两侧符号。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$，可得 $f(x)\sim \ln x$ 当 $x\to1$

2. 当 $x\to1$ 时，$\ln x\to0$，所以 $\lim\limits_{x\to1} f(x)=0$，即 $f(1)=0$

3. 由导数定义：

   $$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}\cdot\frac{\ln x}{x-1}=1$$

4. 但题设不足以确定二阶导数。取

   $$f_c(x)=\ln x+c(x-1)^2\quad (x>0),\qquad f_c(1)=0,$$

   对任意常数 $c$ 都满足题设，且 $f_c''(1)=2c-1$。

5. 例如 $c=0$ 时，$f_c''(x)=-1/x^2<0$，$x=1$ 不是拐点；$c=\frac12$ 时， $f_c''(x)=1-1/x^2$ 在 $x=1$ 两侧变号，$x=1$ 是拐点。

答案：由题设无法判断 $x=1$ 是否为 $f(x)$ 的拐点。

解题思路： 使用参数方程求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 当 $t\geq0$ 时，$x=3t, y=t\sin t$，所以 $y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}$

2. 当 $t<0$ 时，$x=t, y=-t\sin t$，所以 $y=-x\sin x$

3. 因此 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}$

4. 计算一阶导数： $f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos\frac{x}{3}, & x\geq0\\-\sin x-x\cos x, & x<0\end{cases}$

5. 计算二阶导数： $f''(x)=\begin{cases}\frac{2}{9}\cos\frac{x}{3}-\frac{x}{27}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-2\cos x+x\sin x, & x<0\end{cases}$

6. 在 $x=0$ 处：

   • 左导数：$f''_-(0)=-2\cos 0+0\cdot\sin 0=-2$
   • 右导数：$f''_+(0)=\frac{2}{9}\cos 0-0\cdot\sin 0=\frac{2}{9}$

7. 由于左导数和右导数不相等，$f''(0)$ 不存在

8. 分析符号变化：

   • 当 $x<0$ 时，f''(x)&lt;0（凹函数）
   • 当 $x>0$ 时，$f''(x)>0$（凸函数）

答案：$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 使用积分上限函数求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式：$f'(x)=e^{\cos x}$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$

3. 在 $x=0$ 处：

   • $f'(0)=e^{\cos 0}=e$
   • $f''(0)=-e^{\cos 0}\sin 0=0$

4. 分析 $f''(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号：

   • 当 $x<0$ 时，$\sin x<0$，所以 $f''(x)>0$（凸函数）
   • 当 $x>0$ 时，$\sin x>0$，所以 f''(x)&lt;0（凹函数）

5. 由于二阶导数在 $x=0$ 处从正变负，符号发生变化

答案：$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 使用积分上限函数求导公式，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 根据积分上限函数求导公式：$f'(x) = e^{x^2} \sin x$

2. 对 $f'(x)$ 再次求导： $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$

3. 在 $x=0$ 处：

   • $f'(0) = e^{0^2} \sin 0 = 0$
   • $f''(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0^2} \sin 0 + e^{0^2} \cos 0 = 1$

4. 由于 $f''(0) = 1 \neq 0$，所以 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的拐点

答案：$x=0$ 不是 $f(x)$ 的拐点

解题思路： 利用拐点的判定条件，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 已知 $f(1)=0$，$f'(1)=1$，$f''(1)=0$

2. 由于 $f''(1)=0$，满足拐点的必要条件

3. 需要进一步分析 $f''(x)$ 在 $x=1$ 附近的符号变化

4. 由于题目没有给出 $f''(x)$ 在 $x=1$ 附近的表达式，无法确定符号变化

5. 因此无法判断 $x=1$ 是否为拐点

答案：无法判断，需要更多信息

解题思路： 利用拐点的判定条件，分析二阶导数的符号变化。

详细步骤：

1. 已知 $g(0)=0$，$g'(0)=0$，$g''(0)=0$

2. 由于 $g''(0)=0$，满足拐点的必要条件

3. 需要进一步分析 $g''(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号变化

4. 由于题目没有给出 $g''(x)$ 在 $x=0$ 附近的表达式，无法确定符号变化

5. 因此无法判断 $x=0$ 是否为拐点

答案：无法判断，需要更多信息

解题思路： 利用 $f'''(0)$ 是 $f''$ 在 $0$ 处的导数，直接判断 $f''$ 在 $0$ 两侧的符号。

详细步骤：

1. 由 $f'''(0)=\lim_{x\to0}\frac{f''(x)-f''(0)}{x}$ 且 $f''(0)=0$，有

   $$\lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{x}=f'''(0)\neq0$$

2. 因此存在 $\delta>0$，使得 $0<|x|<\delta$ 时，$f''(x)$ 与 $x f'''(0)$ 同号：当 $x$ 从负侧到正侧经过 $0$ 时，$f''(x)$ 必然变号。

3. 根据拐点的第一充分条件，$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点。

答案：证明完成，$x=0$ 是 $f(x)$ 的拐点。