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相似三角形中的黄金比例

问题提出

上一章我们从代数角度定义了黄金比例。呼噜星球的学生们问：

老师，能不能用几何的方法”看到”黄金比例？比如用三角形？

我在黑板上画了一个等腰三角形，顶角为 36∘36^\circ，底角为 72∘72^\circ。

这个三角形叫做黄金三角形。你们仔细看看，它里面藏着什么？

学生们观察了一会儿，有人发现：如果作一个底角的角平分线，会把原来的三角形分成两个小三角形，其中一个和原来的三角形相似！

观察与猜想

设等腰三角形 ABCABC，AB=ACAB = AC，∠A=36∘\angle A = 36^\circ，∠B=∠C=72∘\angle B = \angle C = 72^\circ。

作 ∠B\angle B 的角平分线 BDBD，交 ACAC 于 DD。

  • ∠ABD=∠DBC=36∘\angle ABD = \angle DBC = 36^\circ
  • 在 △BDC\triangle BDC 中，∠DBC=36∘\angle DBC = 36^\circ，∠C=72∘\angle C = 72^\circ，所以 ∠BDC=72∘\angle BDC = 72^\circ
  • 因此 △BDC\triangle BDC 也是等腰三角形，BD=BCBD = BC
  • 在 △ABD\triangle ABD 中，∠A=∠ABD=36∘\angle A = \angle ABD = 36^\circ，所以 AD=BDAD = BD

学生们发现：

AD=BD=BCAD = BD = BC

而且 △ABC∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle BDC（都是 36∘36^\circ-72∘72^\circ-72∘72^\circ 的等腰三角形）。

由相似性：

ACBC=BCDC\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}

因为 BC=ADBC = AD，DC=AC−ADDC = AC - AD，所以：

ACAD=ADAC−AD\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{AC - AD}

这正是黄金分割的条件！点 DD 是 ACAC 的黄金分割点。

学生们猜想：

所以 ACAD=φ\frac{AC}{AD} = \varphi，黄金比例就藏在这个 36∘36^\circ 的等腰三角形里！

严格证明

黄金三角形的构造

定义：顶角为 36∘36^\circ 的等腰三角形称为黄金三角形。

设 AB=AC=1AB = AC = 1，∠A=36∘\angle A = 36^\circ。

作 ∠B\angle B 的平分线 BDBD，D∈ACD \in AC。

证明 △ABC∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle BDC

  • ∠ABC=∠ACB=72∘\angle ABC = \angle ACB = 72^\circ（等腰三角形底角相等）
  • BDBD 平分 ∠ABC\angle ABC，所以 ∠DBC=36∘\angle DBC = 36^\circ
  • 在 △BDC\triangle BDC 中，∠BDC=180∘−36∘−72∘=72∘\angle BDC = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ
  • 因此 ∠BDC=∠BCD=72∘\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ，∠DBC=∠BAC=36∘\angle DBC = \angle BAC = 36^\circ
  • 由 AA 相似判定，△ABC∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle BDC

证明点 D 是 AC 的黄金分割点

由 △ABC∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle BDC：

ACBC=BCDC\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}

又因为：

  • ∠ABD=36∘=∠BAD\angle ABD = 36^\circ = \angle BAD，所以 △ABD\triangle ABD 是等腰三角形，AD=BDAD = BD
  • ∠BDC=∠BCD=72∘\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ，所以 △BDC\triangle BDC 是等腰三角形，BD=BCBD = BC

因此 AD=BD=BCAD = BD = BC。

代入相似比：

ACAD=ADDC=ADAC−AD\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{DC} = \frac{AD}{AC - AD}

这正是黄金分割的定义式。设 AD=xAD = x，AC=1AC = 1：

1x=x1−x  ⟹  x2+x−1=0  ⟹  x=5−12\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x} \implies x^2 + x - 1 = 0 \implies x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}

所以：

ACAD=1x=1+52=φ\frac{AC}{AD} = \frac{1}{x} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi

黄金三角形的自相似性

黄金三角形最神奇的性质是自相似：

  • 作底角平分线，得到一个小的黄金三角形 △BDC\triangle BDC 和一个等腰三角形 △ABD\triangle ABD
  • 对 △BDC\triangle BDC 再作底角平分线，又得到一个更小的黄金三角形
  • 这个过程可以无限进行下去，产生一系列越来越小的黄金三角形

这些三角形的边长比构成一个等比数列，公比为 1/φ1/\varphi。连接各分点可以得到等角螺线（对数螺线），我们将在螺旋章节详细讨论。

尺规作图：黄金分割点

利用黄金三角形，可以用尺规作图作出线段的黄金分割点：

  1. 作线段 ABAB
  2. 过 BB 作 ABAB 的垂线，取 BC=AB/2BC = AB/2
  3. 连接 ACAC，以 CC 为圆心、CBCB 为半径画弧，交 ACAC 于 DD
  4. 以 AA 为圆心、ADAD 为半径画弧，交 ABAB 于 EE

则 EE 就是 ABAB 的黄金分割点，ABAE=φ\frac{AB}{AE} = \varphi。

证明：设 AB=1AB = 1，则 BC=1/2BC = 1/2，AC=1+1/4=5/2AC = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5}/2。 CD=CB=1/2CD = CB = 1/2，所以 AD=AC−CD=5−12AD = AC - CD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}。 AE=AD=5−12≈0.618AE = AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618，即 ABAE=φ\frac{AB}{AE} = \varphi。

结论与应用

  • 黄金三角形：顶角 36∘36^\circ 的等腰三角形，底角平分线产生黄金分割
  • 相似关系：△ABC∼△BDC\triangle ABC \sim \triangle BDC，对应边之比为 φ\varphi
  • 自相似性：黄金三角形可以无限分割，产生等比缩小的相似三角形
  • 尺规作图：利用直角三角形可以精确作出黄金分割点

呼噜星球的学生们惊叹道：

原来一个简单的 36∘36^\circ 等腰三角形里，竟然藏着黄金比例！而且还能无限分割下去，太神奇了！

我告诉他们：

黄金三角形是理解黄金比例几何意义的关键。下一节，我们将在正五边形中看到黄金比例更壮观的出现——五边形的每条对角线都被另一条对角线黄金分割。

上一章节几何中的黄金分割用相似与作图认识黄金比例
下一章节正五边形与对角线比例解析五边形中的黄金分割关系
黄金比例的数学探索