三维线性变换

一、从二维到三维

二维的核心直觉——“矩阵的每一列 = 基向量的像”——原封不动推广到三维。

三维空间有三条标准基向量：

\hat{\imath} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\jmath} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

设线性变换把三个基向量分别送到：

T(\hat{\imath}) = \begin{pmatrix} a \\ d \\ g \end{pmatrix}, \quad T(\hat{\jmath}) = \begin{pmatrix} b \\ e \\ h \end{pmatrix}, \quad T(\hat{k}) = \begin{pmatrix} c \\ f \\ i \end{pmatrix}

那么3×3 矩阵：

M = \begin{pmatrix} \color{blue}{a} & \color{red}{b} & \color{green}{c} \\ \color{blue}{d} & \color{red}{e} & \color{green}{f} \\ \color{blue}{g} & \color{red}{h} & \color{green}{i} \end{pmatrix}

任意向量 $\mathbf{v} = (x, y, z)^T = x\hat{\imath} + y\hat{\jmath} + z\hat{k}$ ：

M\mathbf{v} = x\begin{pmatrix} a \\ d \\ g \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ e \\ h \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} c \\ f \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by + cz \\ dx + ey + fz \\ gx + hy + iz \end{pmatrix}

仍是”行 × 列”：结果第 $i$ 个分量 = 矩阵第 $i$ 行与向量逐项相乘相加。

三维的”网格”是三维格子。线性变换把它变成平行六面体网格：

三维线性变换的直观效果：

变换	矩阵（示例）	效果
绕 z 轴旋转	$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$	绕 z 轴转动
x 方向缩放	$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$	x 方向拉长 2 倍
沿 xy 平面剪切	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$	按 z 值偏移

R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

验证： $\hat{\imath} = (1,0,0) \to (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ ——绕 z 轴旋转 θ 角后的 x 轴方向 ✓； $\hat{k} = (0,0,1) \to (0,0,1)$ 不变 ✓

怎么”看见”三维变换？ 二维靠整张网格，三维可以想象”一个装满格子的正方体”被拉伸、旋转、压缩。很多线性代数教材用”3D 网格动画”演示三维变换——这正是 3Blue1Brown 的招牌手法之一。

三维矩阵乘法规则与二维完全一样（行 × 列），且同样不满足交换律：

M_2 M_1 \neq M_1 M_2 \quad \text{（一般情况）}

先作用的矩阵写在右边。例如”先绕 z 旋转再缩放”的复合矩阵 = (缩放矩阵)·(旋转矩阵)。

图形学的关键技巧：把一个物体的所有顶点先乘以”旋转矩阵”、再乘以”缩放矩阵”，可以预先合并成一个矩阵，再对每个顶点只做一次乘法——大幅提升渲染性能。

核心结论：二维的所有直觉（列 = 基向量的像、行 × 列、先右后左、不交换）在三维逐字成立，只是矩阵从 2×2 变成 3×3。抓住”矩阵 = 记录基向量去向的表格”这一条，就抓住了所有维度。

下一章进入行列式，看线性变换如何改变面积（体积）。