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基变换

一、同一向量，不同坐标

一个向量 (3,2)(3, 2) 在标准基 {ı^,ȷ^}\{\hat{\imath}, \hat{\jmath}\} 下的意思是"3ı^+2ȷ^3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}"。

但如果换一组基 {b1,b2}\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}（比如 b1=(1,1)\mathbf{b}_1 = (1, 1)，b2=(1,−1)\mathbf{b}_2 = (1, -1)），同一个向量会有不同的坐标——用 b1,b2\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2 的组合来表示它。

同一位置的点：
标准基下：v = (3, 2)
新基下：  v = 2.5·b₁ + 0.5·b₂   （因为 2.5(1,1) + 0.5(1,-1) = (3, 2)）

坐标不是向量的固有属性，而是”相对于某组基”的表述。

二、基变换矩阵

从新基坐标 → 标准基坐标

设新基为 {b1,b2}\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}（写成标准基下的坐标）。若向量在新基下的坐标为 [v]B=(x′,y′)T[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = (x', y')^T，则它在标准基下的坐标为：

v=x′b1+y′b2=(∣∣b1b2∣∣)⏟B(x′y′)\mathbf{v} = x'\mathbf{b}_1 + y'\mathbf{b}_2 = \underbrace{\begin{pmatrix} | & | \\ \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 \\ | & | \end{pmatrix}}_{B} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}

基变换矩阵 BB 的列就是新基向量（在标准基下的坐标）。

从标准基坐标 → 新基坐标

反过来，用 B−1B^{-1}：

[v]B=B−1v[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = B^{-1}\mathbf{v} 
例：B = [[1, 1], [1, -1]]（b₁ = (1,1)，b₂ = (1,-1)）
B⁻¹ = (1/-2)[[-1, -1], [-1, 1]] = [[0.5, 0.5], [0.5, -0.5]]
验证：B⁻¹·(3, 2) = (0.5×3+0.5×2, 0.5×3−0.5×2) = (2.5, 0.5) ✓
（与上文 2.5b₁ + 0.5b₂ 一致）

三、换坐标下的线性变换：相似矩阵

问题

同一个线性变换 TT，在标准基下用矩阵 AA 表示，在新基 B\mathcal{B} 下用矩阵 A′A' 表示。A′A' 和 AA 有什么关系？

推导

  1. 先把向量从新基坐标转回标准基：BB
  2. 应用变换：AA
  3. 再转回新基坐标：B−1B^{-1}
A′=B−1ABA' = B^{-1} A B

称 A′A' 与 AA 相似（similar）。

四、为什么基变换重要

场景意义
选择”好”的基某些变换在特征基下变成最简单的对角矩阵
对角化若找到一组特征向量作基，矩阵变为对角矩阵（下一节）
信号处理傅里叶变换 = 换到频率基
数据科学PCA 主成分分析 = 换到方差最大的方向（特征向量）

对角化的好处：对角矩阵的计算极其简单（逐元素运算），还能方便地求幂：

Ak=B(λ1k00λ2k)B−1A^k = B \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{pmatrix} B^{-1}

五、直观总结

概念说明
坐标相对某组基的表述，不是固有属性
基变换矩阵 BB列 = 新基向量在标准基下的坐标
换回标准基v=B[v]B\mathbf{v} = B[\mathbf{v}]_\mathcal{B}
换到新基[v]B=B−1v[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = B^{-1}\mathbf{v}
相似矩阵A′=B−1ABA' = B^{-1}AB（同一变换，不同坐标系）
目的选”好基”让矩阵更简单（如对角化）

小结

  • 坐标是相对的：同一向量在不同基下有不同坐标
  • 基变换矩阵的列 = 新基向量
  • 换基表示变换：A′=B−1ABA' = B^{-1}AB（相似矩阵）
  • 选”好基”（如特征基）可让矩阵变成最简形式
  • 基变换是 PCA、傅里叶变换等应用的基础

下一节：特征向量与特征值——变换的”骨架”。

上一章节抽象向量空间理解"向量"可以推广到函数、矩阵等抽象对象，掌握向量空间的公理化定义。
下一章节二次型理解二次型的定义、矩阵表示、标准形、正定性、合同变换等
线性代数