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叉积

一、叉积是什么

叉积（cross product） 是三维空间中两个向量的另一种乘法，结果仍是一个向量（区别于点积的标量）：

v×w\mathbf{v} \times \mathbf{w}

几何意义：

  1. 方向：垂直于 v\mathbf{v} 和 w\mathbf{w} 所在的平面，由右手定则决定
  2. 长度：等于 v\mathbf{v} 和 w\mathbf{w} 张成的平行四边形的面积
∥v×w∥=∥v∥∥w∥sin⁡θ\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\| = \|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\sin\theta 
        z
        ↑
        │       ╱ v×w（垂直向上）
        │      ↑
        │    ╱ │
        │  ╱   │
        │╱θ    │
        ┗━━━━━━━━━━→ y
      x（向里/外）
        v、w 张成的平行四边形

二、右手定则

用右手四指从 v\mathbf{v} 转向 w\mathbf{w}（转过较小角度），大拇指所指方向 = v×w\mathbf{v} \times \mathbf{w} 的方向。

右手四指：v → w（沿较小角度）
大拇指：指向 v×w
  • ı^×ȷ^=k^\hat{\imath} \times \hat{\jmath} = \hat{k}（x 轴 × y 轴 = z 轴）
  • ȷ^×k^=ı^\hat{\jmath} \times \hat{k} = \hat{\imath}
  • k^×ı^=ȷ^\hat{k} \times \hat{\imath} = \hat{\jmath}
  • 叉积反交换：v×w=−(w×v)\mathbf{v} \times \mathbf{w} = -(\mathbf{w} \times \mathbf{v})

三、叉积的计算公式

三维叉积可以用”伪行列式”记忆：

v×w=∣ı^ȷ^k^v1v2v3w1w2w3∣\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}

展开（按第一行）：

v×w=(v2w3−v3w2v3w1−v1w3v1w2−v2w1)\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix} 
例：v = (1, 0, 0)，w = (0, 1, 0)
v×w = (0×0 − 0×1, 0×0 − 1×0, 1×1 − 0×0) = (0, 0, 1) = k ✓

验证长度公式：∥v∥=1\|v\| = 1，∥w∥=1\|w\| = 1，θ=90°\theta = 90°，∥v×w∥=1×1×sin⁡90°=1\|v\times w\| = 1\times1\times\sin90° = 1 ✓（单位正方形的面积）

四、二维叉积：一个有符号的数

在二维平面上，把两个向量看作 z 分量为 0 的三维向量，叉积只剩下 z 分量：

v1w2−v2w1v_1 w_2 - v_2 w_1

这个数（有符号）恰好等于这两个向量张成的平行四边形的有向面积！

例：v = (2, 1)，w = (1, 3)
叉积 = 2×3 − 1×1 = 5（正，v 到 w 是逆时针）

与行列式的联系

二维叉积 = 以两向量为列的矩阵的行列式：

v1w2−v2w1=det⁡(v1w1v2w2)v_1 w_2 - v_2 w_1 = \det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{pmatrix}

几何直觉：这正是行列式”面积缩放”意义在两向量上的体现。

五、叉积的应用

领域应用
图形学求平面法向量（两点叉积 = 平面法线）
物理力矩 τ=r×F\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}；角动量 L=r×p\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}
几何算法判断点在线段哪侧、多边形面积、碰撞检测
计算机图形学光照计算、相机朝向计算

图形学例子：已知三角形三个顶点，取两条边的叉积即得三角形所在平面的法向量——法向量是光照计算的基础。

六、点积 vs 叉积

对比点积 v·w叉积 v×w
结果标量（数）向量
依赖夹角cos⁡θ\cos\theta（同向最大）sin⁡θ\sin\theta（垂直最大）
交换性对称反交换
几何投影长度张成面积
垂直时点积 = 0叉积模最大

小结

  • 叉积结果是与两向量都垂直的向量，长度 = 张成平行四边形面积
  • 右手定则决定方向；ı^×ȷ^=k^\hat{\imath}\times\hat{\jmath} = \hat{k}
  • 公式：v×w=(v2w3−v3w2, v3w1−v1w3, v1w2−v2w1)v\times w = (v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1)
  • 二维叉积 v1w2−v2w1v_1w_2 - v_2w_1 = 有向面积 = 行列式
  • 叉积用于法向量、力矩、几何判定等

下一章进入 特征值与特征向量，探索线性代数的深层结构。

上一章节点积、叉积与对偶理解点积的投影几何意义、叉积的几何意义与右手定则，以及点积与线性变换之间深刻的对偶性。
下一章节点积与对偶性掌握点积的代数公式与投影几何意义，理解对偶性——向量与线性泛函的统一。
线性代数