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综合练习题

一、行列式

题1

计算行列式 D=∣1234234134124123∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}。

参考答案(3 个标签)
行列式行变换循环行列式
  1. 将第2、3、4行都加到第1行： R1→R1+R2+R3+R4R_1 \to R_1+R_2+R_3+R_4，第1行变为 (10,10,10,10)(10, 10, 10, 10)
  2. 提取公因子10：D=10∣1111234134124123∣D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}
  3. 用第1行消去其他行的第1列： R2→R2−2R1R_2 \to R_2-2R_1，R3→R3−3R1R_3 \to R_3-3R_1，R4→R4−4R1R_4 \to R_4-4R_1 D=10∣1111012−101−2−10−3−2−1∣D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -1 \end{vmatrix}
  4. 按第1列展开：D=10∣12−11−2−1−3−2−1∣D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix}
  5. 计算三阶行列式： =10[1((−2)(−1)−(−1)(−2))−2(1(−1)−(−1)(−3))+(−1)(1(−2)−(−2)(−3))]= 10[1((-2)(-1)-(-1)(-2)) - 2(1(-1)-(-1)(-3)) + (-1)(1(-2)-(-2)(-3))] =10[1(2−2)−2(−1−3)−1(−2−6)]= 10[1(2-2) - 2(-1-3) - 1(-2-6)] =10[0+8+8]=10×16=160= 10[0 + 8 + 8] = 10 \times 16 = 160

答案：D=160D = 160

题2

设 AA 为3阶方阵，∣A∣=2|A| = 2，求 ∣2A∗−3A−1∣|2A^* - 3A^{-1}|。

参考答案(4 个标签)
行列式伴随矩阵逆矩阵矩阵性质
  1. 由伴随矩阵性质：A∗=∣A∣A−1=2A−1A^* = |A|A^{-1} = 2A^{-1}
  2. 2A∗−3A−1=2(2A−1)−3A−1=4A−1−3A−1=A−12A^* - 3A^{-1} = 2(2A^{-1}) - 3A^{-1} = 4A^{-1} - 3A^{-1} = A^{-1}
  3. ∣A−1∣=1∣A∣=12|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2}

答案：∣2A∗−3A−1∣=12|2A^* - 3A^{-1}| = \frac{1}{2}

二、矩阵

题3

设 A=(101020101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}，矩阵 XX 满足 AX+E=A2+XAX + E = A^2 + X，求 XX。

参考答案(3 个标签)
矩阵方程逆矩阵矩阵运算
  1. 整理方程：AX−X=A2−EAX - X = A^2 - E，即 (A−E)X=A2−E(A-E)X = A^2 - E
  2. A−E=(001010100)A - E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}，∣A−E∣=−1≠0|A-E| = -1 \neq 0，可逆
  3. A2−E=(A−E)(A+E)A^2 - E = (A-E)(A+E)，故 X=(A−E)−1(A−E)(A+E)=A+EX = (A-E)^{-1}(A-E)(A+E) = A+E
  4. X=A+E=(201030102)X = A + E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

答案：X=(201030102)X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

题4

设 AA 为 nn 阶方阵，满足 A2−3A+2E=0A^2 - 3A + 2E = 0，证明 AA 可逆，并求 A−1A^{-1}。

参考答案(3 个标签)
矩阵可逆逆矩阵矩阵多项式
  1. 由 A2−3A+2E=0A^2 - 3A + 2E = 0，得 A2−3A=−2EA^2 - 3A = -2E
  2. 即 A(A−3E)=−2EA(A - 3E) = -2E，两边乘以 −12-\frac{1}{2}：A⋅3E−A2=EA \cdot \frac{3E-A}{2} = E
  3. 由逆矩阵定义，AA 可逆，且 A−1=3E−A2A^{-1} = \frac{3E-A}{2}

答案：AA 可逆，A−1=3E−A2A^{-1} = \frac{3E-A}{2}

三、矩阵的秩与线性方程组

题5

求矩阵 A=(12−1324−2636−391211)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ 3 & 6 & -3 & 9 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} 的秩。

参考答案(3 个标签)
矩阵的秩初等行变换行阶梯形
  1. 初等行变换： R2→R2−2R1R_2 \to R_2-2R_1，R3→R3−3R1R_3 \to R_3-3R_1，R4→R4−R1R_4 \to R_4-R_1 (12−1300000000002−2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}
  2. 交换行：(12−13002−200000000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  3. 行阶梯形有2个非零行，故 r(A)=2r(A) = 2

答案：r(A)=2r(A) = 2

题6

讨论线性方程组 {x1+x2+λx3=1x1+λx2+x3=1λx1+x2+x3=1\begin{cases} x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 1 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = 1 \\ \lambda x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{cases} 解的情况，并在有无穷多解时求通解。

参考答案(4 个标签)
线性方程组参数讨论克莱姆法则通解
  1. 系数行列式：∣A∣=∣11λ1λ1λ11∣=−(λ+2)(λ−1)2|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2
  2. 当 λ≠1\lambda \neq 1 且 λ≠−2\lambda \neq -2 时，∣A∣≠0|A| \neq 0，方程组有唯一解。
  3. 当 λ=1\lambda = 1 时，三个方程相同，均为 x1+x2+x3=1x_1+x_2+x_3=1，有无穷多解。 通解：(1,0,0)T+k1(−1,1,0)T+k2(−1,0,1)T(1,0,0)^T + k_1(-1,1,0)^T + k_2(-1,0,1)^T（k1,k2k_1,k_2 为任意常数）
  4. 当 λ=−2\lambda = -2 时，增广矩阵行变换后出现矛盾行 0=30=3，无解。

答案：λ≠1,−2\lambda \neq 1,-2 时唯一解；λ=1\lambda = 1 时无穷多解，通解为 (1,0,0)T+k1(−1,1,0)T+k2(−1,0,1)T(1,0,0)^T+k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T；λ=−2\lambda = -2 时无解。

四、特征值与特征向量

题7

求矩阵 A=(2−1103−1213)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} 的特征值和特征向量。

参考答案(3 个标签)
特征值特征向量特征多项式
  1. 特征多项式：∣λE−A∣=∣λ−21−10λ−31−2−1λ−3∣=(λ−4)2(λ−2)|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-3 & 1 \\ -2 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-4)^2(\lambda-2)
  2. 特征值：λ1=2\lambda_1 = 2，λ2=λ3=4\lambda_2 = \lambda_3 = 4
  3. 对 λ1=2\lambda_1 = 2：解 (2E−A)x=0(2E-A)x=0，得特征向量 k1(−1,1,1)Tk_1(-1,1,1)^T（k1≠0k_1 \neq 0）
  4. 对 λ2=λ3=4\lambda_2 = \lambda_3 = 4：解 (4E−A)x=0(4E-A)x=0，得特征向量 k2(1,0,2)T+k3(0,1,1)Tk_2(1,0,2)^T + k_3(0,1,1)^T（k2,k3k_2,k_3 不全为0）

答案：特征值为 2,4,42, 4, 4；对应特征向量分别为 k1(−1,1,1)Tk_1(-1,1,1)^T 和 k2(1,0,2)T+k3(0,1,1)Tk_2(1,0,2)^T+k_3(0,1,1)^T。

题8

设3阶矩阵 AA 的特征值为 1,2,31, 2, 3，求 ∣A∗+2A+E∣|A^* + 2A + E|。

参考答案(4 个标签)
特征值伴随矩阵行列式特征值性质
  1. ∣A∣=1×2×3=6|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6
  2. A∗=∣A∣A−1=6A−1A^* = |A|A^{-1} = 6A^{-1}，故 A∗A^* 的特征值为 6λ\frac{6}{\lambda}，即 6,3,26, 3, 2
  3. 2A2A 的特征值为 2λ2\lambda，即 2,4,62, 4, 6
  4. EE 的特征值均为 11
  5. A∗+2A+EA^* + 2A + E 的特征值为 6+2+1=96+2+1=9，3+4+1=83+4+1=8，2+6+1=92+6+1=9
  6. ∣A∗+2A+E∣=9×8×9=648|A^* + 2A + E| = 9 \times 8 \times 9 = 648

答案：∣A∗+2A+E∣=648|A^* + 2A + E| = 648

五、相似对角化与二次型

题9

设 A=(200032023)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}，求正交矩阵 PP，使 P−1APP^{-1}AP 为对角矩阵。

参考答案(4 个标签)
正交矩阵相似对角化实对称矩阵施密特正交化
  1. 特征多项式：∣λE−A∣=(λ−2)(λ−1)(λ−5)|\lambda E - A| = (\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-5)，特征值 λ1=1,λ2=2,λ3=5\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=5
  2. 对 λ1=1\lambda_1=1：特征向量 ξ1=(0,−1,1)T\xi_1 = (0, -1, 1)^T，单位化 p1=(0,−12,12)Tp_1 = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})^T
  3. 对 λ2=2\lambda_2=2：特征向量 ξ2=(1,0,0)T\xi_2 = (1, 0, 0)^T，单位化 p2=(1,0,0)Tp_2 = (1, 0, 0)^T
  4. 对 λ3=5\lambda_3=5：特征向量 ξ3=(0,1,1)T\xi_3 = (0, 1, 1)^T，单位化 p3=(0,12,12)Tp_3 = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})^T
  5. 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，故 P=(p1,p2,p3)=(010−1201212012)P = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
  6. P−1AP=diag(1,2,5)P^{-1}AP = \text{diag}(1, 2, 5)

答案：P=(010−1201212012)P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}，P−1AP=diag(1,2,5)P^{-1}AP = \text{diag}(1,2,5)。

题10

判断二次型 f=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3f = 2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3 是否正定。

参考答案(4 个标签)
二次型正定性顺序主子式特征值
  1. 二次型矩阵：A=(22−225−4−2−45)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}
  2. 顺序主子式：
    • Δ1=2>0\Delta_1 = 2 > 0
    • Δ2=∣2225∣=10−4=6>0\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 10-4 = 6 > 0
    • Δ3=∣A∣=2(25−16)−2(10−8)+(−2)(−8+10)=18−4−4=10>0\Delta_3 = |A| = 2(25-16) - 2(10-8) + (-2)(-8+10) = 18 - 4 - 4 = 10 > 0
  3. 所有顺序主子式都大于0，故二次型正定。

（也可通过特征值验证：特征值为 1,1,101, 1, 10，全大于0，故正定。）

答案：二次型正定。

总结

本套综合练习题涵盖了线性代数的核心考点：

  • 行列式：行列式计算、伴随矩阵与逆矩阵的行列式
  • 矩阵：矩阵方程、逆矩阵、矩阵多项式
  • 矩阵的秩与线性方程组：初等行变换求秩、含参方程组解的讨论
  • 特征值与特征向量：特征值计算、特征值性质应用
  • 相似对角化：实对称矩阵的正交对角化
  • 二次型：正定性判定（顺序主子式法）

建议重点掌握行列式计算、矩阵的秩与方程组求解、特征值与对角化三大核心题型。

上一章节点积与对偶性掌握点积的代数公式与投影几何意义，理解对偶性——向量与线性泛函的统一。
下一章节特征值与特征向量理解矩阵的特征值、特征向量、相似、对角化、实对称矩阵等，配合可视化理解"变换的骨架"。
线性代数