相似与对角化

解题思路： 检查是否有足够的线性无关特征向量。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 = 0$
2. 特征值：$\lambda = 1$（二重根）
3. 求特征向量：解 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
4. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
5. 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$
6. 只有一个线性无关特征向量，少于矩阵阶数 2

答案：不可对角化

解题思路： 按照对角化的步骤求解。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = (3-\lambda)(2-\lambda) = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 3$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 2$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 3$：$\vec{x}_2 = (1, 0)$
4. 构造矩阵：
   • $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
5. 对角化形式：$A = PDP^{-1}$

答案：$A = PDP^{-1}$，其中 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

解题思路： 利用相似矩阵有相同特征多项式的性质。

详细步骤：

1. 设 $A \sim B$，即 $B = P^{-1}AP$
2. 相似矩阵有相同的特征多项式：$|A - \lambda I| = |B - \lambda I|$
3. 特征值是特征多项式的根
4. 所以 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值

答案：证明完成

解题思路： 利用对角化矩阵幂的性质。

详细步骤：

1. $A = PDP^{-1}$
2. $A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$
3. $D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)$

答案：$A^n = PD^nP^{-1}$，其中 $D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)$

解题思路： 按照对角化的步骤求解。

详细步骤：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 3$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
4. 有两个线性无关特征向量，等于矩阵阶数
5. 构造矩阵：
   • $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
6. 对角化形式：$A = PDP^{-1}$

答案：可对角化，$A = PDP^{-1}$，其中 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$