幂级数的运算性质

和函数的定义

和函数

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在其收敛域内每一点 $x$ 处都有一个确定的和，这样就定义了一个函数

$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

称为幂级数的和函数，其定义域就是幂级数的收敛域。

幂级数的四则运算

定理1

设幂级数 $\sum a_n x^n$ 和 $\sum b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ ，令 $R = \min(R_1, R_2)$ ，则在 $(-R, R)$ 内：

加法： $\sum a_n x^n + \sum b_n x^n = \sum (a_n + b_n) x^n$
减法： $\sum a_n x^n - \sum b_n x^n = \sum (a_n - b_n) x^n$
乘法（柯西乘积）： $\left(\sum a_n x^n\right)\left(\sum b_n x^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n$
除法： $\frac{\sum a_n x^n}{\sum b_n x^n} = \sum c_n x^n$ （其中 $b_0 \neq 0$ ），系数 $c_n$ 由 $\sum a_n x^n = (\sum b_n x^n)(\sum c_n x^n)$ 递推确定。除法后的收敛半径可能比 $R$ 小得多。

几何解释

推论

证明

符号说明

和函数的性质

定理2

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R > 0$ ，和函数为 $S(x)$ ，则：

连续性： $S(x)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内连续。如果幂级数在 $x = R$ （或 $x = -R$ ）处收敛，则 $S(x)$ 在该端点处单侧连续。
可积性： $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内可积，且可以逐项积分：

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$

逐项积分后得到的幂级数收敛半径不变（仍为 $R$ ）。

可导性： $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内可导，且可以逐项求导：

$S'(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

逐项求导后得到的幂级数收敛半径不变（仍为 $R$ ）。

几何解释

推论

证明

符号说明

逐项求导和逐项积分的重要意义：

幂级数的和函数在收敛区间内是无穷次可导的（因为每次求导后仍是幂级数，收敛半径不变，可以继续求导）。
逐项求导和逐项积分是求幂级数和函数的重要方法——通过对已知幂级数求导或积分，可以得到新的幂级数的和函数。
这也是将函数展开成幂级数的理论基础。

幂级数的唯一性

定理3

如果幂级数 $\sum a_n x^n$ 和 $\sum b_n x^n$ 在原点的某邻域内有相同的和函数，则它们的系数对应相等，即 $a_n = b_n$ （ $n = 0, 1, 2, \ldots$ ）。

等价地，如果 $\sum a_n x^n = 0$ 在原点的某邻域内成立，则 $a_n = 0$ （ $n = 0, 1, 2, \ldots$ ）。

几何解释

推论

证明

符号说明

幂级数的唯一性是泰勒展开唯一性的理论基础：一个函数如果能展开成幂级数，则展开式是唯一的，就是它的泰勒级数。这意味着无论用什么方法（直接求导、间接展开、变量替换等）得到的幂级数展开式，都是同一个。

典型例题

例题1：逐项求导求和函数

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数。

参考答案(3 个标签)

逐项求导和函数几何级数

已知几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ （ $|x| < 1$ ）
两边对 $x$ 求导： $\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)' = \left(\frac{1}{1-x}\right)'$
左边逐项求导： $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$
右边求导： $\frac{1}{(1-x)^2}$
故 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ （ $|x| < 1$ ）

答案：和函数为 $\frac{1}{(1-x)^2}$ （ $|x| < 1$ ）。

例题2：逐项积分求和函数

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的和函数。

参考答案(3 个标签)

逐项积分和函数对数函数

设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ ，收敛域为 $[-1, 1)$
逐项求导： $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ （ $|x| < 1$ ）
积分： $S(x) = S(0) + \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = 0 - \ln(1-x) = -\ln(1-x)$
验证： $S(0) = 0$ ，符合
由连续性， $S(-1) = -\ln 2$ （交错调和级数的和）

答案：和函数为 $S(x) = -\ln(1-x)$ （ $x \in [-1, 1)$ ）。

例题3：幂级数乘法

利用幂级数乘法求 $\frac{1}{(1-x)^2}$ 的幂级数展开。

参考答案(3 个标签)

幂级数乘法柯西乘积几何级数

已知 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ （ $|x| < 1$ ）
$\frac{1}{(1-x)^2} = \left(\frac{1}{1-x}\right)^2 = \left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)$
柯西乘积：系数 $c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot 1 = n+1$
故 $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ （ $|x| < 1$ ）
与逐项求导结果一致。

答案： $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$ （ $|x| < 1$ ）。

练习题

练习1

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的和函数。

参考答案(3 个标签)

和函数逐项求导几何级数

$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = x \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2}$ （ $|x| < 1$ ）

答案：和函数为 $\frac{x}{(1-x)^2}$ （ $|x| < 1$ ）。

练习2

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 的和函数。

参考答案(3 个标签)

和函数逐项求导反正切函数

设 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}$ （ $|x| < 1$ ）
$S(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ （ $|x| < 1$ ）

答案：和函数为 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ （ $|x| < 1$ ）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S(x)$	和函数	sum function	幂级数的和函数
$R_1, R_2$	收敛半径	radii of convergence	两个幂级数的收敛半径
$c_n$	乘积系数	product coefficient	柯西乘积的系数
$a_k b_{n-k}$	乘积项	product term	柯西乘积的通项

中英对照

中文术语	英文术语	音标
和函数	sum function	/sʌm ˈfʌŋkʃən/
逐项求导	term-by-term differentiation	/tɜːrm baɪ tɜːrm ˌdɪfərɛnʃiˈeɪʃən/
逐项积分	term-by-term integration	/tɜːrm baɪ tɜːrm ˌɪntɪˈɡreɪʃən/
柯西乘积	Cauchy product	/ˈkoʊʃi ˈprɒdʌkt/
四则运算	arithmetic operations	/əˈrɪθmətɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/
唯一性	uniqueness	/juːˈniːknəs/
内闭一致收敛	uniform convergence on compact sets	/ˈjuːnɪfɔːrm kənˈvɜːrdʒəns/
连续性	continuity	/ˌkɒntɪˈnjuːəti/
可导性	differentiability	/ˌdɪfəˌrɛnʃiəˈbɪləti/
可积性	integrability	/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/

上一章节幂级数的定义与收敛性学习幂级数的定义、收敛半径与收敛区间的求法，以及收敛区间端点的收敛性判定。

下一章节泰勒展开与函数的幂级数展开学习泰勒级数与麦克劳林级数的定义、函数展开成幂级数的条件和方法，以及常见函数的幂级数展开式。