幂级数的定义与收敛性

幂级数的定义

幂级数

形如

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$

的级数称为幂级数，其中常数 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ 称为幂级数的系数。

更一般地，形如

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$

的级数称为在 $x_0$ 处的幂级数（或关于 $(x-x_0)$ 的幂级数）。

幂级数是最简单、最重要的函数项级数之一。它的部分和是多项式，因此幂级数可以看作是”无穷次多项式”。许多重要的函数（如 $e^x, \sin x, \cos x$ 等）都可以展开成幂级数，这使得幂级数成为函数逼近和计算的有力工具。

阿贝尔定理

定理1

阿贝尔定理：如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x = x_0 \neq 0$ 处收敛，则对满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ ，幂级数绝对收敛。

反之，如果幂级数在点 $x = x_0$ 处发散，则对满足 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ ，幂级数发散。

几何解释

推论

证明

符号说明

阿贝尔定理的推论：幂级数的收敛域是以原点为中心的区间（可能包含端点，也可能不包含）。存在一个非负数 $R$ （可以是 $+\infty$ ），使得：

当 $|x| < R$ 时，幂级数绝对收敛
当 $|x| > R$ 时，幂级数发散
当 $|x| = R$ 时，可能收敛也可能发散，需要单独判断

这个 $R$ 称为幂级数的收敛半径，区间 $(-R, R)$ 称为收敛区间，收敛域（收敛区间加上收敛的端点）称为收敛域。

收敛半径的求法

比值判别法

定理2

如果 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$ ，则幂级数 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为：

$R = \begin{cases} \frac{1}{L}, & 0 < L < +\infty \\ +\infty, & L = 0 \\ 0, & L = +\infty \end{cases}$

几何解释

推论

证明

符号说明

根值判别法

定理3

如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$ ，则幂级数的收敛半径为：

$R = \begin{cases} \frac{1}{L}, & 0 < L < +\infty \\ +\infty, & L = 0 \\ 0, & L = +\infty \end{cases}$

几何解释

推论

证明

符号说明

注意：

上述公式要求极限存在。如果极限不存在，可以使用上极限 $\limsup$ 。
对于缺项幂级数（如 $\sum a_n x^{2n}$ 或 $\sum a_n x^{2n+1}$ ），不能直接使用上述公式，应该直接对通项使用比值判别法或根值判别法。
求出收敛半径后，必须单独判断端点 $x = \pm R$ 处的收敛性，才能确定完整的收敛域。

典型例题

例题1：求收敛半径和收敛域

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径和收敛域。

参考答案(4 个标签)

收敛半径收敛域端点收敛性调和级数

$a_n = \frac{1}{n}$ ，用比值判别法： $L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$
收敛半径 $R = \frac{1}{L} = 1$ ，收敛区间为 $(-1, 1)$
判断端点：
- $x = 1$ ：级数为 $\sum \frac{1}{n}$ ，调和级数，发散
- $x = -1$ ：级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ ，交错调和级数，由莱布尼茨判别法收敛
收敛域为 $[-1, 1)$

答案：收敛半径 $R=1$ ，收敛域为 $[-1, 1)$ 。

例题2：缺项幂级数

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 的收敛半径。

参考答案(3 个标签)

缺项幂级数收敛半径比值判别法

这是缺项幂级数（只有偶次项），直接对通项用比值判别法：
设 $u_n = \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ ，则 $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{x^{2n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} = 0 < 1$
对任意 $x$ ，比值极限都小于1，故收敛半径 $R = +\infty$

答案：收敛半径 $R = +\infty$ ，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$ 。

例题3：一般形式的幂级数

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{2^n n}$ 的收敛域。

参考答案(4 个标签)

收敛域一般形式幂级数平移端点收敛性

令 $t = x - 1$ ，级数变为 $\sum \frac{t^n}{2^n n}$
$a_n = \frac{1}{2^n n}$ ， $L = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n n}{2^{n+1}(n+1)} = \frac{1}{2}$
收敛半径 $R = 2$ ， $t \in (-2, 2)$ ，即 $x \in (-1, 3)$
端点：
- $t = 2$ （ $x=3$ ）： $\sum \frac{1}{n}$ ，发散
- $t = -2$ （ $x=-1$ ）： $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ ，收敛
收敛域为 $[-1, 3)$

答案：收敛域为 $[-1, 3)$ 。

练习题

练习1

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛域。

参考答案(3 个标签)

收敛域指数级数比值判别法

$a_n = \frac{1}{n!}$ ， $L = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$
$R = +\infty$ ，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$

答案：收敛域为 $(-\infty, +\infty)$ 。

练习2

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛域。

参考答案(3 个标签)

收敛域端点发散通项不趋于零

$a_n = n$ ， $L = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1$ ， $R = 1$
端点 $x = \pm 1$ ：通项 $n(\pm1)^n$ 不趋于零，发散
收敛域为 $(-1, 1)$

答案：收敛域为 $(-1, 1)$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_n$	系数	coefficient	幂级数的系数
$R$	收敛半径	radius of convergence	幂级数的收敛半径
$L$	极限值	limit	比值或根值的极限
$x_0$	中心点	center	幂级数展开的中心点
$t$	变量替换	substitution	平移变换后的变量

中英对照

中文术语	英文术语	音标
幂级数	power series	/ˈpaʊər ˈsɪəriːz/
收敛半径	radius of convergence	/ˈreɪdiəs əv kənˈvɜːrdʒəns/
收敛区间	interval of convergence	/ˈɪntərvəl əv kənˈvɜːrdʒəns/
收敛域	domain of convergence	/doʊˈmeɪn əv kənˈvɜːrdʒəns/
阿贝尔定理	Abel’s theorem	/ˈɑːbəlz ˈθɪərəm/
系数	coefficient	/ˌkoʊɪˈfɪʃənt/
缺项幂级数	lacunary power series	/ləˈkjuːnəri ˈpaʊər ˈsɪəriːz/
端点	endpoint	/ˈendpɔɪnt/
绝对收敛	absolute convergence	/ˈæbsəluːt kənˈvɜːrdʒəns/
函数项级数	series of functions	/ˈsɪəriːz əv ˈfʌŋkʃənz/

上一章节幂级数学习幂级数的定义、收敛半径与收敛区间、幂级数的运算性质，以及泰勒展开与函数的幂级数展开。

下一章节幂级数的运算性质学习幂级数的四则运算、和函数的性质、逐项求导与逐项积分，以及幂级数的唯一性。