综合练习题

1. 用比值判别法：$a_n = \frac{n!}{n^n}$
2. $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e} < 1$
4. 由比值判别法，级数收敛。

答案：级数收敛。

1. 用积分判别法：设 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^p}$，在 $[2, +\infty)$ 上非负递减
2. $\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^p} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^p}$（令 $t = \ln x$）
3. 当 $p > 1$ 时，积分收敛（p积分），故级数收敛
4. 当 $p \leq 1$ 时，积分发散，故级数发散

答案：当 $p > 1$ 时收敛，当 $0 < p \leq 1$ 时发散。

1. 绝对收敛性：考虑绝对值级数 $\sum \frac{\ln n}{n}$ 当 $n \geq 3$ 时，$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法，$\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散。故不绝对收敛。
2. 条件收敛性：原级数是交错级数，$a_n = \frac{\ln n}{n}$
   • $a_n > 0$ ✓
   • 令 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，$f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2} < 0$（$x > e$），故 $a_n$ 递减 ✓
   • $\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$ ✓
3. 满足莱布尼茨判别法条件，级数收敛。
4. 综上，级数条件收敛。

答案：条件收敛。

1. 令 $t = x-1$，级数为 $\sum \frac{t^n}{\sqrt{n}}$
2. $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，$L = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = 1$，$R = 1$
3. $t \in (-1, 1)$，即 $x \in (0, 2)$
4. 端点：
   • $t = 1$（$x=2$）：$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$，p级数 $p=\frac{1}{2}<1$，发散
   • $t = -1$（$x=0$）：$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，交错级数，满足莱布尼茨条件，收敛
5. 收敛域为 $[0, 2)$

答案：收敛域为 $[0, 2)$。

1. 已知 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x|<1$）
2. 逐项求导：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，即 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$
3. 再次逐项求导：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)' = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$
4. 故 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$（$|x| < 1$）

答案：和函数为 $S(x) = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$（$|x| < 1$）。

1. 部分分式：$\frac{1}{x^2+3x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$
2. 令 $t = x+4$，则 $x = t-4$： $\frac{1}{x+1} = \frac{1}{t-3} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{t}{3}} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{t}{3}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{3^{n+1}}$（$|t|<3$） $\frac{1}{x+2} = \frac{1}{t-2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{t}{2}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{2^{n+1}}$（$|t|<2$）
3. 取交集 $|t|<2$： $f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{3^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}\right) t^n$
4. 代回 $t = x+4$，收敛域 $|x+4| < 2$，即 $x \in (-6, -2)$

答案：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}\right)(x+4)^n$（$x \in (-6, -2)$）。

1. $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} 1 dx = 1$
2. $a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \cos nx dx = \frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin nx}{n}\right]_0^{\pi} = 0$（$n \geq 1$）
3. $b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nx dx = \frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{n\pi}(1 - \cos n\pi) = \frac{1}{n\pi}(1 - (-1)^n)$
4. $n$ 为偶数时 $b_n = 0$，$n$ 为奇数时 $b_n = \frac{2}{n\pi}$
5. 傅里叶级数：$f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$
6. 收敛定理：在连续点 $x \neq k\pi$ 处收敛于 $f(x)$；在 $x = 2k\pi$ 处收敛于 $\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$；在 $x = (2k+1)\pi$ 处收敛于 $\frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$

答案：$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$（$x \neq k\pi$），在 $x=k\pi$ 处级数和为 $\frac{1}{2}$。

1. 构造幂级数 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{n(2n-1)}$，则原级数和为 $S(1)$
2. 逐项求导：$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1}$
3. 再次求导：$S''(x) = \sum_{n=1}^{\infty} 2(-1)^{n-1} x^{2n-2} = 2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \frac{2}{1+x^2}$（$|x|<1$）
4. 积分：$S'(x) = S'(0) + \int_0^x \frac{2}{1+t^2} dt = 2\arctan x$
5. 再积分：$S(x) = S(0) + \int_0^x 2\arctan t \, dt = 2x\arctan x - \ln(1+x^2)$
6. $S(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \ln 2 = \frac{\pi}{2} - \ln 2$

答案：级数和为 $\frac{\pi}{2} - \ln 2$。