根值判别法

定义

根值判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，且 $a_n \geq 0$ ，如果：

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$

则：

当 $\rho < 1$ 时，级数收敛（convergence）
当 $\rho > 1$ 时，级数发散（divergence）
当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

公式

根值判别法公式

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$

当 $\rho < 1$ 时，级数收敛
当 $\rho > 1$ 时，级数发散
当 $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用情况

通项包含 $n$ 次幂
比值判别法失效时

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sqrt[n]{a_n}$	数学符号	$n$ 次根	$a_n$ 的 $n$ 次根

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
根值判别法	root test	/ruːt test/	通过 $n$ 次根判断收敛性的方法
柯西判别法	Cauchy’s test	/ˈkoʊʃiz test/	根值判别法的另一种称呼
正项级数	positive series	/ˈpɒzətɪv ˈsɪəriːz/	所有项都非负的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限

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