坐标变换
过渡矩阵
定义
定义是对概念、术语或对象含义的精确描述。理解定义是学习任何知识领域的基础，每个概念都有其明确的定义。
设 V 有两个基：
基 I：{e1,e2,…,en}
基 II：{e1′,e2′,…,en′}
如果新基可以用旧基表示：
ej′=p1je1+p2je2+⋯+pnjen
则矩阵 P=(pij)n×n 称为从基 I 到基 II 的过渡矩阵。
过渡矩阵的性质
坐标变换公式
数学定理
定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。
定理1
设向量 a 在基 I 下的坐标为 X=(x1,x2,…,xn)T，在基 II 下的坐标为 X′=(x1′,x2′,…,xn′)T，则：
X′=P−1X
其中 P 是从基 I 到基 II 的过渡矩阵。
几何意义
坐标变换描述了同一个向量在不同坐标系下的表示关系。
基变换的例子
标准基到另一组基
例子：
在 R2 中，从标准基 {(1,0),(0,1)} 变换到基 {(1,1),(1,−1)}。
坐标变换计算
向量 a=(2,3) 在标准基下的坐标为 (2,3)T，在新基下的坐标为：
X′=P−1(23)
练习题
练习 1
求从基 {(1,0),(0,1)} 到基 {(1,1),(1,−1)} 的过渡矩阵。
参考答案(3 个标签)
过渡矩阵基变换坐标计算
解题思路：
计算新基向量在旧基下的坐标。
详细步骤：
-
新基向量：e1′=(1,1)，e2′=(1,−1)
-
在旧基下的坐标：
e1′=1⋅(1,0)+1⋅(0,1)，坐标 (1,1)T
e2′=1⋅(1,0)+(−1)⋅(0,1)，坐标 (1,−1)T
-
过渡矩阵：
P=(111−1)
答案：过渡矩阵为 (111−1)
练习 2
向量 a=(3,1) 在标准基下的坐标为 (3,1)T，在新基 {(1,1),(1,−1)} 下的坐标是多少？
参考答案(3 个标签)
坐标变换过渡矩阵矩阵运算
解题思路：
使用坐标变换公式。
详细步骤：
-
过渡矩阵 P=(111−1)
-
计算 P−1：
行列式 detP=1⋅(−1)−1⋅1=−2
P−1=−21(−1−1−11)=(0.50.50.5−0.5)
-
新坐标：
X′=P−1X=(0.50.50.5−0.5)(31)=(21)
答案：新坐标为 (2,1)T
总结
本文出现的符号
| 符号 | 类型 | 读音/说明 | 在本文中的含义 |
|---|
| P | 过渡矩阵 | transition matrix P | 基变换矩阵 |
| X,X′ | 坐标向量 | coordinate vectors | 向量在不同基下的坐标 |
| ei,ei′ | 基向量 | basis vectors | 不同基中的向量 |
中英对照
| 中文术语 | 英文术语 | 音标 | 说明 |
|---|
| 过渡矩阵 | transition matrix | /trænˈzɪʃən ˈmeɪtrɪks/ | 基变换的矩阵表示 |
| 坐标变换 | coordinate transformation | /koʊˈɔːrdɪnət ˌtrænsfərˈmeɪʃən/ | 坐标在不同基下的变换 |
| 基变换 | basis transformation | /ˈbeɪsɪs ˌtrænsfərˈmeɪʃən/ | 从一个基到另一个基的变换 |
