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Elementary Functions at a Glance

Elementary functions are the building blocks of most formulas you will see in calculus and its applications.

$\pi$ （pi，派）：圆周率，出现在三角函数的周期与角度制/弧度制转换中。

Power Functions

Power function

$f(x) = x^a$ where $a$ is a real number.

If $a$ is an integer, the domain is $\mathbb{R}$ .
If $a$ is rational with even denominator, restrict to keep roots real (e.g., $x^{1/2}$ needs $x \ge 0$ ).

$a > 1$ : grows faster; $a = 1$ : line; $0 < a < 1$ : concave, passes $(0,0)$ .
Negative $a$ yields reciprocals (e.g., $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ , domain excludes $0$ ).

Exponential function

$f(x) = a^x$ with $a > 0$ , $a \ne 1$ . Domain: $\mathbb{R}$ ; Range: $(0, +\infty)$ .

Logarithmic function

$f(x) = \log_a x$ with $a > 0$ , $a \ne 1$ . Domain: $(0, +\infty)$ ; Range: $\mathbb{R}$ .

$\arcsin x$ : domain $[-1,1]$ , range $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$ : domain $[-1,1]$ , range $[0, \pi]$
$\arctan x$ : domain $\mathbb{R}$ , range $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

State the domain and monotonicity of $f(x) = x^{1/2}$ .

参考答案

Domain: $[0, +\infty)$ . Increasing on its domain.

Compare growth: which grows faster as $x \to +\infty$ , $x^3$ or $2^x$ ?

参考答案

Exponential $2^x$ eventually outgrows any power $x^3$ ; $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^x}{x^3} = +\infty$ .

Give one even and one odd trigonometric function with their periods.

参考答案

Even: $\cos x$ , period $2\pi$ .
Odd: $\sin x$ , period $2\pi$ .

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$x^a$	数学符号	x to the a	幂函数表达式
$a^x$	数学符号	a to the x	指数函数
$\log_a x$	数学符号	log base a of x	对数函数
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	三角函数的周期常数
$\arcsin x$	数学符号	arc-sine of x	反三角函数
$\arctan x$	数学符号	arc-tangent of x	反三角函数

中文术语	英文术语	音标	说明
幂函数	power function	/ˈpaʊər ˈfʌŋkʃən/	形如 $x^a$ 的函数
指数函数	exponential function	/ˌɛkspəˈnɛnʃəl ˈfʌŋkʃən/	底数固定、指数为自变量的函数
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	指数函数的反函数
三角函数	trigonometric function	/ˌtrɪɡənəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/	以角度/弧度为自变量的周期函数
反三角函数	inverse trigonometric function	/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəˈmɛtrɪk ˈfʌŋkʃən/	求角度的三角函数逆运算
周期	period	/ˈpɪəriəd/	三角函数重复的最小正间隔