综合练习题

1. 总取法：$C_8^2 = 28$
2. (1) 两个都是白球：$C_5^2 = 10$，概率 $P_1 = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$
3. (2) 一个白球一个黑球：$C_5^1 C_3^1 = 15$，概率 $P_2 = \frac{15}{28}$

答案：(1) $\frac{5}{14}$；(2) $\frac{15}{28}$。

1. 设 $A_1, A_2, A_3$ 分别表示产品由甲、乙、丙机器生产，$B$ 表示取到次品。
2. $P(A_1)=0.25, P(A_2)=0.35, P(A_3)=0.40$
3. $P(B|A_1)=0.05, P(B|A_2)=0.04, P(B|A_3)=0.02$
4. (1) 全概率公式：$P(B) = \sum_{i=1}^3 P(A_i)P(B|A_i) = 0.25\times0.05 + 0.35\times0.04 + 0.40\times0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345$
5. (2) 贝叶斯公式：$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.0125}{0.0345} = \frac{25}{69} \approx 0.362$

答案：(1) $P(B) = 0.0345$；(2) $P(A_1|B) = \frac{25}{69} \approx 0.362$。

1. (1) 由归一性：$\int_0^1 (ax+b) dx = \frac{a}{2} + b = 1$
2. $E(X) = \int_0^1 x(ax+b) dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{7}{12}$
3. 解方程组：$\begin{cases} \frac{a}{2} + b = 1 \\ \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{7}{12} \end{cases}$ 由第一式 $b = 1 - \frac{a}{2}$，代入第二式：$\frac{a}{3} + \frac{1}{2} - \frac{a}{4} = \frac{7}{12}$ $\frac{a}{12} = \frac{1}{12}$，故 $a = 1$，$b = \frac{1}{2}$
4. (2) $E(X^2) = \int_0^1 x^2(x+\frac{1}{2}) dx = \int_0^1 (x^3 + \frac{x^2}{2}) dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$
5. $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{5}{12} - (\frac{7}{12})^2 = \frac{5}{12} - \frac{49}{144} = \frac{60-49}{144} = \frac{11}{144}$

答案：(1) $a=1, b=\frac{1}{2}$；(2) $D(X) = \frac{11}{144}$。

1. $E(X) = 0$，$E(Y) = E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 1$
2. $E(XY) = E(X^3) = 0$（标准正态分布的奇数阶矩为0）
3. 协方差：$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 = 0$
4. 相关系数：$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} = 0$
5. 不相关，但不独立：因为 $Y = X^2$，$X$ 与 $Y$ 有确定的函数关系，显然不独立。

答案：协方差为0，相关系数为0，$X$ 与 $Y$ 不相关但不独立。

1. 设 $X$ 为一年内死亡人数，则 $X \sim B(10000, 0.006)$
2. $E(X) = np = 10000 \times 0.006 = 60$
3. $D(X) = np(1-p) = 60 \times 0.994 = 59.64$，$\sigma = \sqrt{59.64} \approx 7.723$
4. 利润 = 收入 - 赔付 = $10000 \times 12 - 1000X = 120000 - 1000X$
5. 利润不少于60000元：$120000 - 1000X \geq 60000$，即 $X \leq 60$
6. 由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(60, 59.64)$
7. $P(X \leq 60) \approx \Phi(\frac{60-60}{7.723}) = \Phi(0) = 0.5$

答案：保险公司利润不少于60000元的概率约为 $0.5$。

1. 矩估计： $E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_0^1 x^\theta dx = \frac{\theta}{\theta+1}$ 令 $\bar{X} = \frac{\theta}{\theta+1}$，解得 $\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}$
2. 最大似然估计： 似然函数 $L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta-1}$ 对数似然 $\ln L = n\ln\theta + (\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i$ 求导：$\frac{d\ln L}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0$ 解得 $\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$

答案：矩估计量 $\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}$；最大似然估计量 $\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$。

1. $\sigma^2$ 未知，用 $t$ 分布：$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
2. 置信度 $1-\alpha = 0.95$，$\alpha = 0.05$，$t_{\alpha/2}(n-1) = t_{0.025}(8) = 2.306$
3. 置信区间：$(\bar{x} - t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}})$
4. $\bar{x} = 10$，$s = 2$，$n = 9$，$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2}{3}$
5. 置信区间：$(10 - 2.306 \times \frac{2}{3}, 10 + 2.306 \times \frac{2}{3}) = (10 - 1.537, 10 + 1.537) = (8.463, 11.537)$

答案：$\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(8.463, 11.537)$。

1. 提出假设：$H_0: \mu \leq 235$，$H_1: \mu > 235$（右侧检验）
2. 检验统计量：$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$（当 $H_0$ 成立时）
3. 拒绝域：$t > t_{\alpha}(n-1) = t_{0.05}(15) = 1.753$
4. 计算统计量：$t = \frac{240 - 235}{8/\sqrt{16}} = \frac{5}{2} = 2.5$
5. 因为 $2.5 > 1.753$，落在拒绝域内，故拒绝 $H_0$。

答案：在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，拒绝 $H_0$，可以认为这批元件的平均寿命大于235小时。

1. 提出假设：$H_0: \sigma^2 = 0.048^2 = 0.002304$，$H_1: \sigma^2 \neq 0.002304$（双侧检验）
2. 检验统计量：$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$（当 $H_0$ 成立时）
3. 拒绝域：$\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) = 2.180$ 或 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1) = 17.535$
4. 计算统计量：$\chi^2 = \frac{8 \times 0.0064}{0.002304} = \frac{0.0512}{0.002304} \approx 22.22$
5. 因为 $22.22 > 17.535$，落在拒绝域内，故拒绝 $H_0$。

答案：在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，拒绝 $H_0$，认为该机床工作不正常，方差发生了显著变化。